21. Упростите выражение: 1) $\frac{b-6}{b-3}-\frac{b}{3-b}$; 2) $\frac{6c+4}{7-c}+\frac{3c+25}{c-7}$; 3) $\frac{(3a+1)^2}{24a-24}+\frac{(a+3)^2}{24-24a}$; 4) $\frac{36-8x}{(x-6)^2}-\frac{4x-x^2}{(6-x)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21. Упростите выражение: 1) $\frac{b-6}{b-3}-\frac{b}{3-b}$; 2) $\frac{6c+4}{7-c}+\frac{3c+25}{c-7}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $3-b=-(b-3)$, получаем:
\[\frac{b-6}{b-3}-\frac{b}{3-b}=\frac{b-6}{b-3}+\frac{b}{b-3}=\frac{2b-6}{b-3}=\frac{2(b-3)}{b-3}=2.\]
Ограничение: $b\ne3$.
Так как $c-7=-(7-c)$, получаем:
\[\frac{6c+4}{7-c}+\frac{3c+25}{c-7}=\frac{6c+4-(3c+25)}{7-c}=\frac{3c-21}{7-c}=\frac{-3(7-c)}{7-c}=-3.\]
Ограничение: $c\ne7$.
Вынесем общие множители в знаменателях:
\[24a-24=24(a-1),\qquad 24-24a=-24(a-1).\]
Тогда
\[\frac{(3a+1)^2}{24(a-1)}-\frac{(a+3)^2}{24(a-1)}=\frac{(3a+1)^2-(a+3)^2}{24(a-1)}.\]
Применим формулу разности квадратов:
\[\frac{(2a-2)(4a+4)}{24(a-1)}=\frac{8(a-1)(a+1)}{24(a-1)}=\frac{a+1}{3}.\]
Ограничение: $a\ne1$.
Так как $(6-x)^2=(x-6)^2$, объединим дроби:
\[\frac{36-8x}{(x-6)^2}-\frac{4x-x^2}{(x-6)^2}=\frac{36-8x-4x+x^2}{(x-6)^2}.\]
\[\frac{x^2-12x+36}{(x-6)^2}=\frac{(x-6)^2}{(x-6)^2}=1.\]
Ограничение: $x\ne6$.

Ответ: 1) $2$; 2) $-3$; 3) $\frac{a+1}{3}$; 4) $1$.

21. Упростите выражение: 1) \(\frac{b-6}{b-3}-\frac{b}{3-b}\); 2) \(\frac{6c+4}{7-c}+\frac{3c+25}{c-7}\); 3) \(\frac{(3a+1)^2}{24a-24}+\frac{(a+3)^2}{24-24a}\); 4) \(\frac{36-8x}{(x-6)^2}-\frac{4x-x^2}{(6-x)^2}\).