21. Упростите выражение: 1) $\frac{x-4}{x-2}-\frac{x}{2-x}$; 2) $\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+10}{x-5}$; 3) $\frac{(2a-1)^2}{8a-8}+\frac{(a-2)^2}{8-8a}$; 4) $\frac{16-7x}{(x-4)^2}-\frac{x-x^2}{(4-x)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21. Упростите выражение: 1) $\frac{x-4}{x-2}-\frac{x}{2-x}$; 2) $\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+10}{x-5}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $2-x=-(x-2)$, то $-\frac{x}{2-x}=\frac{x}{x-2}$. Поэтому $\frac{x-4}{x-2}+\frac{x}{x-2}=\frac{2x-4}{x-2}=2$, при $x\ne 2$.
Так как $5-x=-(x-5)$, приводим дроби к знаменателю $x-5$: $\frac{-(5x+6)+(3x+10)}{x-5}=\frac{4-2x}{x-5}$, при $x\ne 5$.
Используем равенства $8a-8=8(a-1)$ и $8-8a=-8(a-1)$: $\frac{(2a-1)^2-(a-2)^2}{8(a-1)}$. По формуле разности квадратов числитель равен $((2a-1)-(a-2))((2a-1)+(a-2))=3(a-1)(a+1)$. Сокращаем: $\frac{3(a+1)}{8}$, при $a\ne 1$.
Поскольку $(4-x)^2=(x-4)^2$, объединяем дроби: $\frac{16-7x-(x-x^2)}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x+16}{(x-4)^2}=\frac{(x-4)^2}{(x-4)^2}=1$, при $x\ne 4$.

Ответ: 1) 2; 2) $\frac{4-2x}{x-5}$; 3) $\frac{3(a+1)}{8}$; 4) 1.

21. Упростите выражение: 1) \(\frac{x-4}{x-2}-\frac{x}{2-x}\); 2) \(\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+10}{x-5}\); 3) \(\frac{(2a-1)^2}{8a-8}+\frac{(a-2)^2}{8-8a}\); 4) \(\frac{16-7x}{(x-4)^2}-\frac{x-x^2}{(4-x)^2}\).