21. В корзине лежит 32 гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 11 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

Решение:

Пусть \( R \) — количество рыжиков, а \( G \) — количество груздей в корзине.

Всего грибов в корзине 32, значит, \( R + G = 32 \).

Условие 1: Среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик. Это означает, что если мы выберем 23 гриба, то среди них не может быть только грузди. Максимальное количество груздей, которое может быть в корзине, чтобы это условие выполнялось, равно 23 - 1 = 22. Если бы груздей было 23 или больше, то мы могли бы выбрать 23 груздя, что противоречит условию. Следовательно, \( G ≤ 22 \).

Условие 2: Среди любых 11 грибов имеется хотя бы один груздь. Это означает, что если мы выберем 11 грибов, то среди них не может быть только рыжики. Максимальное количество рыжиков, которое может быть в корзине, чтобы это условие выполнялось, равно 11 - 1 = 10. Если бы рыжиков было 11 или больше, то мы могли бы выбрать 11 рыжиков, что противоречит условию. Следовательно, \( R ≤ 10 \).

Теперь используем эти неравенства и общее количество грибов:

Мы знаем, что \( R + G = 32 \) и \( R ≤ 10 \).

Чтобы найти минимальное количество груздей, подставим максимальное возможное значение рыжиков:

\( G = 32 - R \)

Так как \( R ≤ 10 \), то \( -R ≥ -10 \).

Следовательно, \( G = 32 - R ≥ 32 - 10 = 22 \).

Итак, мы получили, что \( G ≥ 22 \).

Из условия 1 мы знаем, что \( G ≤ 22 \).

Единственное целое число, удовлетворяющее условиям \( G ≥ 22 \) и \( G ≤ 22 \), это \( G = 22 \).

Проверим, выполняется ли условие для рыжиков:

Если \( G = 22 \), то \( R = 32 - 22 = 10 \).

Условие \( R ≤ 10 \) выполняется.

Ответ: 22.