21. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6 см, и углом при вершине 120°. Диагональ боковой грани, содержащей основание, равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Найдём элементы основания:
   Равнобедренный треугольник с основанием \( a = 6 \) см и углом при вершине \( \gamma = 120^{\circ} \).
   Углы при основании \( \alpha = \beta = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
   Высоту \( h \) к основанию можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной основания и высотой: \( \tan 30^{\circ} = \frac{3}{h} \) \( \Rightarrow \) \( h = \frac{3}{\tan 30^{\circ}} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \) см.
   Боковую сторону \( b \) найдём из того же треугольника: \( \cos 30^{\circ} = \frac{3}{b} \) \( \Rightarrow \) \( b = \frac{3}{\cos 30^{\circ}} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) см.
2. Найдём высоту призмы:
   Диагональ боковой грани, содержащей основание, равна \( d = 10 \) см. В этой грани основание призмы является одной стороной, а высота призмы — другой. Мы знаем основание \( a = 6 \) см.
   По теореме Пифагора: \( H^2 + a^2 = d^2 \) \( \Rightarrow \) \( H^2 + 6^2 = 10^2 \) \( \Rightarrow \) \( H^2 + 36 = 100 \) \( \Rightarrow \) \( H^2 = 64 \) \( \Rightarrow \) \( H = 8 \) см.
3. Найдём площадь боковой поверхности:
   Периметр основания \( P = a + 2b = 6 + 2(2\sqrt{3}) = 6 + 4\sqrt{3} \) см.
   Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} = P \cdot H \) \( \Rightarrow \) \( S_{бок} = (6 + 4\sqrt{3}) \cdot 8 = 48 + 32\sqrt{3} \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \( 48 + 32\sqrt{3} \) см².