21. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 154°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как AB ∥ CD, углы между прямыми AC и AB и между AC и CD в сумме с учётом смежности дают угол между AC и CD: острый угол между AC и AB равен 180° − 154° = 26°.

Обозначим AB = a. Тогда AC = 2a. В треугольнике ABC угол между AB и AC равен 26°. По теореме косинусов, поскольку BC = AD, а в параллелограмме стороны AB и CD равны, получаем для диагонали BD направление, симметричное относительно сторон; эквивалентно, векторы диагоналей имеют вид u+v и u−v, где |u|=|AB|=a, |u+v|=|AC|=2a. Из условия угла между AB и AC следует проекция второго вектора на AB: 2a·cos 26°. Тогда для диагонали BD угловая разность с AC определяется вычислением, либо через скалярное произведение.

Пусть u=AB, v=AD, тогда AC=u+v и BD=v−u. Из |u|=a, |u+v|=2a и угла (u,u+v)=26° следует u·(u+v)=2a²cos26°, поэтому u·v=a²(2cos26°−1). Также |v|=a, следовательно:

\(\cos\varphi=\frac{|(u+v)\cdot(v-u)|}{|u+v|\,|v-u|}=\frac{|v|^2-|u|^2}{|AC|\,|BD|}=0\).

Получилось, что диагонали перпендикулярны, что невозможно для произвольных таких данных? Действительно, диагональ AC не равна стороне AB в параллелограмме без дополнительного ограничения, однако |AB|=|CD|, а угол ACD относится к AC и CD. В треугольнике ACD имеем AC=2·CD и угол при C 154°, что нарушает существование треугольника (сторона AC напротив угла 154° должна быть наибольшей, но AC — сторона напротив угла D). Следовательно, условие противоречиво.

Ответ: такого параллелограмма не существует: заданные данные несовместимы.