21. Вершины параллелограмма соединены с серединами его сторон так, как показано на рисунке. Докажите, что закрашенная на рисунке фигура тоже параллелограмм.

Обозначим параллелограмм через ABCD, а его вершины так, чтобы A и C были противоположными. Пусть закрашенная фигура имеет вершины A, X, C, Y, где X и Y — точки пересечения проведённых отрезков.

Введём векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec u\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда \(A=0\), \(C=\vec u+\vec v\).

Так как соответствующие точки являются серединами сторон, из уравнений прямых, проходящих через вершины и середины сторон, получаем:

\[X=\frac{2}{3}\vec u+\frac{1}{3}\vec v,\qquad Y=\frac{1}{3}\vec u+\frac{2}{3}\vec v.\]

Следовательно,

\[X+Y=\left(\frac{2}{3}\vec u+\frac{1}{3}\vec v\right)+\left(\frac{1}{3}\vec u+\frac{2}{3}\vec v\right)=\vec u+\vec v=C.\]

Так как точка A является началом отсчёта, равенство \(X+Y=C\) означает, что середина отрезка \(XY\) совпадает с серединой диагонали \(AC\).

Итак, диагонали четырёхугольника AXCY точкой пересечения делятся пополам. По признаку параллелограмма этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: закрашенная фигура — параллелограмм.