21. Владимир, Пётр и Иван играют в шахматы: проигравший партию игрок уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Владимир сыграл 19 партий, а Иван — 39. Сколько партий сыграл Пётр?

Привет! Давай разберем эту задачку вместе. Она кажется сложной, но на самом деле все просто, если понять главное правило.

Условие:

• Играют трое: Владимир, Пётр и Иван.
• Проигравший уступает место тому, кто не играл.
• Владимир сыграл 19 партий.
• Иван сыграл 39 партий.
• Нужно узнать, сколько партий сыграл Пётр.

Логика решения:

Самое важное тут — понять, кто вообще мог играть в любой момент времени. В каждой партии участвуют ровно два игрока. Если один проиграл, он выходит, а вместо него садится тот, кто отдыхал. Таким образом, за всё время игры у каждого игрока было время и поиграть, и отдохнуть.

Давай представим, что всего было сыграно N партий. В каждой партии участвовало 2 игрока. Значит, общее число «игро-партий» (когда кто-то один играл в какой-то партии) равно 2 * N.

Мы знаем, сколько партий сыграли Владимир (19) и Иван (39). Сумма этих партий — это часть от общего числа «игро-партий»:

19 (Владимир) + 39 (Иван) = 58 «игро-партий».

Что это значит? Это значит, что кто-то из троих (Владимир, Пётр или Иван) сыграл 58 партий. Но ведь у нас есть еще и Пётр! Его партии тоже входят в общее число «игро-партий».

А теперь самое интересное: кто больше всех играл? Тот, кто меньше всех отдыхал. Если Владимир сыграл 19 партий, значит, он больше всех отдыхал. Иван сыграл 39 партий — значит, он играл больше, чем Владимир. А кто же тогда сыграл еще больше?

Давай подумаем: если бы Петр сыграл меньше всех, то общее число партий было бы 19 (Владимир) + 39 (Иван) + X (Петр), где X < 19. А если Петр сыграл больше всех? То тогда как?

По условию, проигравший уступает место тому, кто не участвовал. Это значит, что в любой момент времени игроки — это те, кто не проиграл. Давайте обозначим количество партий, сыгранных каждым игроком: $$V$$, $$P$$, $$I$$.

Общее число сыгранных партий в игре будет $$N$$.

В каждой партии участвуют двое. Если один проиграл, он уступает место тому, кто не участвовал. Это значит, что тот, кто не участвовал, обязательно сыграет следующую партию (если она будет). Таким образом, количество сыгранных партий у всех игроков будет примерно одинаковым, отличаясь максимум на 1.

Но есть нюанс! Если кто-то сыграл 19 партий, а кто-то 39, то это значит, что игрок, сыгравший 19 партий, был чаще всего «лишним» или уступал место.

Ключевая идея: В любой момент времени двое играют, один отдыхает. Тот, кто отдыхает, обязательно сядет играть в следующей партии. Значит, игрок, который не участвовал в текущей партии, сыграет в следующей. Если кто-то сыграл 19 партий, а Иван — 39, то именно Иван играл больше всех. А кто играл меньше всех? Владимир. Следовательно, Петр должен был играть промежуточное количество партий.

Но как найти точное число?

Представим, что Петр сыграл X партий.

Если в конце игры оказалось, что Владимир сыграл 19, а Иван — 39, то это значит, что один из них чаще всего уступал место. Кто уступал место чаще? Тот, кто проигрывал. Кто проигрывал чаще? Возможно, Владимир.

Давайте посмотрим на это с другой стороны.

Всего было сыграно $$N$$ партий. Каждый игрок мог сыграть $$N$$ партий (если он всегда выигрывал и никогда не проигрывал, кроме случаев, когда он проиграл одну последнюю партию). Или он мог сыграть $$N-1$$ партию (если он один раз проиграл и уступил место).

В каждой партии участвуют 2 человека. Всего сыграно $$N$$ партий. Общее число