21. Юля, Катя и Лена играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Юля сыграла 17 партий, а Катя — 35. Сколько партий сыграла Лена?

Решение:

В этой задаче мы имеем дело с игрой, где проигравший уступает место, а победитель остается. Это значит, что в каждой партии участвуют два игрока, а один из них отдыхает.

Общее количество партий, сыгранных всеми игроками, можно найти, зная, сколько партий сыграл каждый.

Чтобы определить, сколько партий сыграла Лена, нужно понять, сколько всего партий было сыграно. В каждой партии два игрока соревнуются, а третий отдыхает. Поэтому общее количество партий, сыгранных каждым из них, суммируется.

Дано:

• Юля сыграла: 17 партий
• Катя сыграла: 35 партий

Всего партий, сыгранных Юлей и Катей: 17 + 35 = 52 партии.

Так как в каждой партии участвуют два игрока, а третий отдыхает, то общее количество сыгранных партий — это сумма партий, сыгранных всеми тремя участниками, деленная на два. Но в данном случае нам дано, сколько партий сыграл каждый. Это значит, что мы можем найти разницу, если бы знали общее количество партий.

Условие гласит: «игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней». Это значит, что в каждой партии участвуют два человека, а один отдыхает. Значит, количество сыгранных партий одним игроком равно общему количеству партий, если бы играли все по очереди.

Пусть $$J$$ — количество партий, сыгранных Юлей, $$K$$ — Катей, $$L$$ — Леной.

Всего партий, сыгранных всеми игроками: $$J+K+L$$.

В каждой партии участвуют 2 игрока, всего 3 игрока. Это значит, что количество партий, сыгранных одним игроком, равно общему числу партий, когда играют двое, и один отдыхает. Каждый игрок сыграл определенное количество партий. Всего партий, где участвовали два игрока, могло быть больше, чем партии, сыгранные одним игроком.

Рассмотрим, сколько всего «мест» было занято в партиях. Юля заняла 17 мест, Катя — 35 мест.

В каждой партии участвуют два игрока. Поэтому общее количество «сыгранных мест» всеми тремя игроками равно сумме их партий: $$17 + 35 + L$$.

Это общее количество «сыгранных мест» должно быть в 2 раза больше, чем общее количество партий, если бы в каждой партии участвовали все по очереди.

Но здесь другой случай: проигравший уступает место. Представим, что всего было сыграно $$N$$ партий. Тогда общее число «сыгранных партий» всеми тремя игроками будет $$3N$$ (если бы каждый сыграл $$N$$ партий). Но так как один постоянно отдыхает, то общее число «сыгранных партий» должно быть $$2N$$ (два игрока в каждой из $$N$$ партий).

Дано: $$J = 17$$, $$K = 35$$.

Пусть $$X$$ — общее количество партий, сыгранных Леной.

Общее количество «сыгранных партий» всеми тремя игроками равно $$J + K + X = 17 + 35 + X = 52 + X$$.

Количество партий, в которых участвовали два игрока, — это общее количество партий, сыгранных каждым из них. При таком правиле, когда один игрок отдыхает, то общее количество партий, сыгранных всеми тремя, равно сумме партий, сыгранных каждым. Например, если было сыграно 10 партий, то суммарно игроки сыграли 20 партий (по 2 в каждой), и если бы один играл 5, другой 5, третий 10 (то есть 20/2=10 партий), то это возможно. Но правило иное: проигравший уступает место. Это значит, что один игрок всегда находится вне игры.

Следовательно, в каждой из сыгранных партий участвуют два игрока. Общее количество сыгранных партий всеми тремя игроками будет суммой их личных партий: $$17 + 35 + L$$.

Суммарное количество партий, сыгранных всеми тремя игроками, будет равно $$2N$$, где $$N$$ — общее количество проведенных партий. Но это неверно. Условие означает, что в любой момент времени один игрок отдыхает, а два играют. Значит, если всего было сыграно $$X$$ партий, то Лена сыграла $$X$$ партий, Юля сыграла 17 партий, Катя — 35 партий. Это не значит, что все сыграли одинаковое количество партий.

Правило: проигравший уступает место тому, кто не играл. Это значит, что двое играют, один отдыхает. Таким образом, каждый игрок будет попеременно играть и отдыхать. Если бы все играли одинаковое количество партий, то это было бы легко. Но здесь есть разница.

Рассмотрим количество сыгранных партий. Пусть было сыграно $$N$$ партий. В каждой партии участвуют 2 игрока. Значит, общее количество «сыгранных партий» всеми игроками будет $$2 \times N$$.

$$J=17$$, $$K=35$$.

В итоге оказалось, что Юля сыграла 17 партий, а Катя — 35. Сколько партий сыграла Лена?

Пусть $$N_{J}$$, $$N_{K}$$, $$N_{L}$$ — количество партий, сыгранных Юлей, Катей и Леной соответственно. Мы знаем, что $$N_{J} = 17$$, $$N_{K} = 35$$.

В каждой партии участвуют два игрока. Это означает, что общее количество сыгранных партий (то есть суммарное количество партий, сыгранных каждым игроком) будет равняться $$N_{J} + N_{K} + N_{L}$$.

Количество партий, которые сыграли два игрока, равно общему количеству партий, сыгранных всеми тремя. Это означает, что $$N_{J} + N_{K} + N_{L}$$ должно быть четным числом. Но это не совсем так.

Условие «игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней» подразумевает, что всегда есть один отдыхающий. Это означает, что общее количество партий, сыгранных всеми тремя, является суммой их индивидуальных партий. Если всего было сыграно $$P$$ партий, то общее количество «сыгранных мест» составит $$2 \times P$$.

Таким образом, $$N_{J} + N_{K} + N_{L} = 2 \times (\text{общее количество партий})$$.

В этой задаче важно то, что количество сыгранных партий каждым игроком может отличаться. Мы знаем, что Катя сыграла 35 партий, а Юля — 17. Разница между партиями Кати и Юли составляет $$35 - 17 = 18$$ партий.

Это означает, что в тех 18 партиях, где Катя играла, а Юля — нет, Катя либо выигрывала (и оставалась играть), либо проигрывала, но тогда Юля была бы не в игре. Если Катя сыграла на 18 партий больше, чем Юля, то это может означать, что Катя чаще оставалась играть, а Юля чаще отдыхала.

Рассмотрим партию. Играют двое, один отдыхает. Если игрок А выиграл, он остается, игрок Б проиграл и уступает место игроку В. Если игрок А проиграл, он уступает место игроку В, игрок Б отдыхает.

Пусть $$x$$ — количество партий, сыгранных Леной.

Общее количество сыгранных партий всеми тремя: $$17 + 35 + x$$.

Это суммарное количество партий, где каждый игрок участвовал. Если двое играют, а один отдыхает, то общее число сыгранных партий = $$2 \times (\text{количество сыгранных игр})$$.

Ключевой момент: разница между максимальным и минимальным количеством сыгранных партий. Катя сыграла 35 партий, Юля — 17. Разница: $$35 - 17 = 18$$ партий.

В каждой партии, где один игрок проигрывает, он уступает место другому. Это значит, что в каждой партии участвуют ровно два игрока. Пусть общее количество партий, сыгранных всеми тремя, равно $$S$$. Тогда $$S = 17 + 35 + L$$.

Поскольку в каждой партии участвуют двое, то общее количество «сыгранных партий» (суммарно всеми игроками) должно быть равно $$2 \times \text{количество партий}$$.

Рассмотрим разницу в партиях: $$35 - 17 = 18$$. Эта разница означает, что Катя участвовала в 18 партиях, в которых Юля не участвовала. В этих 18 партиях Катя играла против Лены.

Следовательно, Лена сыграла столько же партий, сколько Катя и Юля в этих 18 матчах.

То есть, Лена сыграла 18 партий, в которых она играла против Кати.

Проверка:

• Катя сыграла 35 партий.
• Юля сыграла 17 партий.
• Лена сыграла 18 партий.

Предположим, что Катя играла против Лены 18 раз. Тогда в этих 18 партиях Юля отдыхала. Остается $$35 - 18 = 17$$ партий, которые сыграла Катя.

Эти 17 партий Катя могла сыграть против Юли. В таком случае, Юля сыграла 17 партий (против Кати). Лена в этих 17 партиях отдыхала. Это соответствует условию.

Итак, Лена сыграла 18 партий.

Ответ: 18