210. Решите уравнения: 1) $3\cdot 9^x=81$; 2) $2\cdot 4^x=64$; 3) $3^{x+\frac{1}{2}}\cdot 3^{x-2}=1$; 4) $0{,}5^{x+7}\cdot 0{,}5^{1-2x}=2$; 5) $0{,}6^x\cdot 0{,}6^3=\frac{0{,}6^{2x}}{0{,}6^5}$; 6) $6^{3x}\cdot\frac{1}{6}=6\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 210. Решите уравнения: 1) $3\cdot 9^x=81$; 2) $2\cdot 4^x=64$; 3) $3^{x+\frac{1}{2}}\cdot 3^{x-2}=1$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим выражение через основание 3: $3\cdot 9^x=3^1\cdot 3^{2x}=3^4$. Значит, $1+2x=4$, откуда $x=\frac{3}{2}$.
Делим обе части на 2: $4^x=32$. Записываем через основание 2: $2^{2x}=2^5$, поэтому $2x=5$ и $x=\frac{5}{2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: $3^{x+\frac{1}{2}}\cdot 3^{x-2}=3^{2x-\frac{3}{2}}=1=3^0$. Следовательно, $2x-\frac{3}{2}=0$, откуда $x=\frac{3}{4}$.
Складываем показатели: $0{,}5^{x+7}\cdot 0{,}5^{1-2x}=0{,}5^{8-x}$. Так как $2=0{,}5^{-1}$, имеем $8-x=-1$, поэтому $x=9$.
Объединяем степени с одинаковыми основаниями: $0{,}6^{x+3}=0{,}6^{2x-5}$. Основание положительно и не равно 1, поэтому $x+3=2x-5$. Отсюда $x=8$.
Представим дроби как степени числа 6: $6^{3x}\cdot 6^{-1}=6^1\cdot 6^{-2x}$. Приравниваем показатели: $3x-1=1-2x$. Тогда $5x=2$, следовательно, $x=\frac{2}{5}$.

Ответ: 1) $x=\frac{3}{2}$; 2) $x=\frac{5}{2}$; 3) $x=\frac{3}{4}$; 4) $x=9$; 5) $x=8$; 6) $x=\frac{2}{5}$.

210. Решите уравнения: 1) \(3\cdot 9^x=81\); 2) \(2\cdot 4^x=64\); 3) \(3^{x+\frac{1}{2}}\cdot 3^{x-2}=1\); 4) \(0{,}5^{x+7}\cdot 0{,}5^{1-2x}=2\); 5) \(0{,}6^x\cdot 0{,}6^3=\frac{0{,}6^{2x}}{0{,}6^5}\); 6) \(6^{3x}\cdot\frac{1}{6}=6\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2x}\).