211. Решите уравнение: а) $(8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38$; б) $\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac{2}{3}$; в) $0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7$; г) $x^4\cdot x^2=\dfrac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 211. Решите уравнение: а) $(8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38$; б) $\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac{2}{3}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Раскроем скобки:
$(8x-1)(2x-3)=16x^2-26x+3$, $(4x-1)^2=16x^2-8x+1$.
Тогда $-18x+2=38$, откуда $-18x=36$ и $x=-2$.
Преобразуем смешанное число: $2\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$. Умножим обе части уравнения на 3:
$(15x-1)(1+15x)=8$.
По формуле разности квадратов: $225x^2-1=8$, поэтому $225x^2=9$, $x^2=\dfrac{1}{25}$.
Значит, $x=\pm\dfrac{1}{5}$.
Раскроем скобки во втором произведении: $y(y+1)(y-3)=y(y^2-2y-3)=y^3-2y^2-3y$.
После вычитания кубические слагаемые сокращаются: $y^2+1{,}5y=7$.
Умножим на 2 и перенесём всё в левую часть: $2y^2+3y-14=0$.
$D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=121$. Тогда $y=\dfrac{-3\pm11}{4}$, то есть $y=2$ или $y=-\dfrac{7}{2}$.
Преобразуем обе части: $x^4\cdot x^2=x^6$, а $(1+2x^2)(2x^2-1)=4x^4-1$. Поэтому $x^6=x^4-\dfrac14$.
Положим $t=x^2$, где $t\geq0$. Получаем $t^3-t^2+\dfrac14=0$.
Функция $f(t)=t^3-t^2+\dfrac14$ при $t\geq0$ достигает минимума при $t=\dfrac23$: $f\left(\dfrac23\right)=\dfrac{11}{108}>0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: а) $x=-2$; б) $x=\pm\dfrac15$; в) $y=2$, $y=-\dfrac72$; г) действительных корней нет.

211. Решите уравнение: а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38\); б) \(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac{2}{3}\); в) \(0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7\); г) \(x^4\cdot x^2=\dfrac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}\).