211. Решите уравнение: а) (8x − 1)(2x − 3) − (4x − 1)² = 38; б) ((15x − 1)(1 + 15x))/3 = 2 2/3; в) 0,5y³ − 0,5y(y + 1)(y − 3) = 7; г) x⁴ · x² = ((1 + 2x²)(2x² − 1))/4.

а)

Раскроем скобки:

\((8x-1)(2x-3)=16x^2-26x+3\),

\((4x-1)^2=16x^2-8x+1\).

Тогда \(16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38\).

\(-18x+2=38\), откуда \(-18x=36\), \(x=-2\).

б)

Преобразуем левую часть:

\(\frac{(15x-1)(1+15x)}{3}=\frac{(15x-1)(15x+1)}{3}=\frac{225x^2-1}{3}\).

Смешанное число \(2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\), поэтому

\(\frac{225x^2-1}{3}=\frac{8}{3}\).

\(225x^2-1=8\), \(225x^2=9\), \(x^2=\frac{1}{25}\).

Следовательно, \(x=\pm\frac{1}{5}\).

в)

Вынесем общий множитель:

\(0.5y^3-0.5y(y+1)(y-3)=7\).

Умножим на 2:

\(y^3-y(y+1)(y-3)=14\).

Так как \((y+1)(y-3)=y^2-2y-3\), получаем

\(y^3-y(y^2-2y-3)=14\),

\(y^3-(y^3-2y^2-3y)=14\),

\(2y^2+3y=14\).

\(2y^2+3y-14=0\). Дискриминант: \(D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=121\).

\(y=\frac{-3\pm11}{4}\), поэтому \(y=2\) или \(y=-\frac{7}{2}\).

г)

Правая часть равна:

\(\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}=\frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac14\).

Уравнение принимает вид \(x^6=x^4-\frac14\), или

\(4x^6-4x^4+1=0\).

Положим \(t=x^2\). Тогда \(4t^3-4t^2+1=0\).

Разложение на множители:

\(4t^3-4t^2+1=(2t-1)^2(t+1)\).

Следовательно, \(t=\frac12\) или \(t=-1\). Поскольку \(t=x^2\ge0\), значение \(t=-1\) не подходит.

\(x^2=\frac12\), поэтому \(x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\).

Ответ: а) \(x=-2\); б) \(x=\pm\frac15\); в) \(y=2,\ -\frac72\); г) \(x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\).