211. Решите уравнение: а) (8x − 1)(2x − 3) − (4x − 1)² = 38; б) ((15x − 1)(1 + 15x))/3 = 2/3; в) 0,5y³ − 0,5y(y + 1)(y − 3) = 7; г) x⁴ · x² = ((1 + 2x²)(2x² − 1))/4.

а) Раскроем скобки и упростим:

\((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=-18x+2\).

Тогда \(-18x+2=38\), откуда \(-18x=36\) и \(x=-2\).

б) Используем формулу разности квадратов:

\((15x-1)(1+15x)=(15x-1)(15x+1)=225x^2-1\).

\((225x^2-1)/3=2/3\), поэтому \(225x^2-1=2\), \(x^2=1/75\), и \(x=\pm\sqrt{3}/15\).

в) \((y+1)(y-3)=y^2-2y-3\), значит \(0.5y^3-0.5y(y^2-2y-3)=1.5y^2+1.5y\).

Уравнение принимает вид \(1.5y(y+1)=7\), то есть \(3y^2+3y-14=0\). По формуле корней:

\(y=\frac{-3\pm\sqrt{177}}{6}\).

г) По изображению прочитывается уравнение \(x^4\cdot x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}\). Левая часть равна \(x^6\), а числитель справа — \(4x^4-1\). Поэтому \(x^6=x^4-\frac14\), или \(4x^6-4x^4+1=0\).

Положим \(t=x^2\), где \(t\ge0\). Получаем \(4t^3-4t^2+1=0\). Наименьшее значение выражения \(4t^3-4t^2+1\) при \(t\ge0\) достигается при \(t=2/3\) или на границе \(t=0\): значения равны \(11/27\) и \(1\), оба положительны. Следовательно, действительных решений нет.

Ответ: а) \(x=-2\); б) \(x=\pm\sqrt{3}/15\); в) \(y=(-3\pm\sqrt{177})/6\); г) действительных решений нет.