212. Решите уравнения: 1) \(5^x=8^x\); 2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^x\); 3) \(3^x=5^{2x}\); 4) \(4^x=3^{\frac{x}{2}}\).

1) \(5^x=8^x\). Так как основания различны и положительны, равенство возможно только при нулевом показателе: \(x=0\).

2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^x\). Основания различны, поэтому \(x=0\).

3) Представим правую часть: \(5^{2x}=25^x\). Получаем \(3^x=25^x\), откуда \(x=0\).

4) При возведении в логарифмическую форму: \(x\ln 4=\frac{x}{2}\ln 3\). Тогда \(x\left(\ln 4-\frac{1}{2}\ln 3\right)=0\). Поскольку коэффициент в скобках не равен нулю, \(x=0\).

Ответ: 1) \(x=0\); 2) \(x=0\); 3) \(x=0\); 4) \(x=0\).