2123. Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Найдите высоту

Решение:

В равнобедренной трапеции диагонали равны. Окружность, описанная около трапеции, является окружностью, описанной около треугольника, образованного двумя боковыми сторонами и диагональю, или двумя основаниями и диагональю.

Пусть основания трапеции равны \( a = 48 \) и \( b = 14 \), а радиус описанной окружности \( R = 25 \).

Опустим высоту \( h \) из вершины тупого угла на большее основание. Основание \( a \) разделится на отрезки \( x \) и \( b \) и \( x \), так что \( a = 2x + b \).

\( 48 = 2x + 14 \)

\( 2x = 48 - 14 = 34 \)

\( x = 17 \)

Теперь найдем диагональ \( d \) по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), отрезком \( x + b \) и диагональю \( d \):

\( d^2 = h^2 + (x + b)^2 = h^2 + (17 + 14)^2 = h^2 + 31^2 = h^2 + 961 \)

Также диагональ \( d \) можно найти по теореме синусов для треугольника, образованного основанием \( a \), боковой стороной \( c \) и диагональю \( d \).

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю \( d \), основанием \( a \) и боковой стороной \( c \). По теореме синусов:

\( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \beta} = \frac{d}{\sin \gamma} = 2R \)

где \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы треугольника.

Другой подход: рассмотрим треугольник, образованный высотой \( h \), отрезком \( b \) и диагональю \( d \), если провести диагональ из конца меньшего основания на конец большего. В этом случае:

\( d^2 = h^2 + (a - x)^2 \) - это неверно.

Воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности трапеции:

\( R = \frac{d}{2 \sin \alpha} \), где \( \alpha \) — угол при основании.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю \( d \) и основаниями. Проведем высоту \( h \) из вершины тупого угла на большее основание. Отрезок, который образуется у основания, равен \( x = \frac{a-b}{2} = \frac{48-14}{2} = 17 \).

Диагональ \( d \) можно найти, зная, что она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( h \) и \( a-x = 48 - 17 = 31 \) (это другая часть основания, если проводить высоту из вершины острого угла).

Нам нужно найти высоту \( h \).

Пусть \( O \) — центр описанной окружности. Пусть \( M \) — середина большего основания \( AB = 48 \), \( N \) — середина меньшего основания \( CD = 14 \). Тогда \( OM = \frac{a}{2} = 24 \) и \( ON = \frac{b}{2} = 7 \). Линия \( MN \) является осью симметрии трапеции.

Высота трапеции \( h = MN \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \) и половиной основания \( a/2 \) или \( b/2 \).

Пусть \( K \) — середина большего основания. Расстояние от \( K \) до центра \( O \) равно \( |\frac{a}{2} - \frac{b}{2}| \) или \( \frac{a}{2} - \frac{b}{2} \) в зависимости от того, где лежит центр.

Если центр лежит внутри трапеции, то расстояние от центра до большего основания равно \( |R^2 - (a/2)^2|^{1/2} \) — это неверно.

Пусть \( h_1 \) — расстояние от большего основания до центра, \( h_2 \) — расстояние от меньшего основания до центра. Тогда \( h_1 + h_2 = h \).

\( R^2 = (a/2)^2 + h_1^2 \) и \( R^2 = (b/2)^2 + h_2^2 \).

\( R^2 = 25^2 = 625 \).

\( 625 = (48/2)^2 + h_1^2 = 24^2 + h_1^2 = 576 + h_1^2 \).

\( h_1^2 = 625 - 576 = 49 \).

\( h_1 = 7 \).

\( 625 = (14/2)^2 + h_2^2 = 7^2 + h_2^2 = 49 + h_2^2 \).

\( h_2^2 = 625 - 49 = 576 \).

\( h_2 = 24 \).

Высота трапеции \( h = h_1 + h_2 = 7 + 24 = 31 \).

Проверим, что центр окружности лежит между основаниями. Если \( h_1 \) и \( h_2 \) имеют разный знак, то центр лежит вне трапеции.

В данном случае \( h_1 = 7 \) (расстояние от большего основания до центра) и \( h_2 = 24 \) (расстояние от меньшего основания до центра). Так как \( a > b \), то центр окружности лежит ближе к меньшему основанию, если углы при основании острые. Если один угол тупой, то центр может быть вне.

Если \( R^2 = (a/2)^2 + h_1^2 \) и \( R^2 = (b/2)^2 + h_2^2 \), и \( h_1 \) и \( h_2 \) — расстояния от оснований до центра, то \( h = h_1 + h_2 \) если центр между основаниями, или \( h = |h_2 - h_1| \) если центр вне.

Поскольку \( a = 48 \) и \( b = 14 \), \( a/2 = 24 \) и \( b/2 = 7 \).

\( R^2 = 625 \).

\( (a/2)^2 = 576 \).

\( (b/2)^2 = 49 \).

Так как \( (a/2)^2 < R^2 \) и \( (b/2)^2 < R^2 \), то центр окружности лежит между основаниями.

\( h_1 = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7 \).

\( h_2 = \sqrt{R^2 - (b/2)^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \).

Высота трапеции \( h = h_1 + h_2 = 7 + 24 = 31 \).

Ответ: 31