2127. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120. Найдите её среднюю линию.

Решение:

Дано:

Трапеция описана около окружности.

P = 120 (периметр)

Найти:

b (средняя линия)

Теорема: Если трапеция описана около окружности, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Для такой трапеции справедливо равенство: \( a + c = m + n \), где \( a \) и \( c \) — основания, \( m \) и \( n \) — боковые стороны.

Периметр трапеции \( P = a + c + m + n \).

Так как \( a + c = m + n \), то \( P = (a + c) + (a + c) = 2(a + c) \) или \( P = (m + n) + (m + n) = 2(m + n) \).

Средняя линия трапеции \( b = \frac{a + c}{2} \).

Из формулы периметра следует, что \( a + c = \frac{P}{2} \).

Подставляем значение периметра: \( a + c = \frac{120}{2} = 60 \).

Теперь находим среднюю линию: \( b = \frac{a + c}{2} = \frac{60}{2} = 30 \).

Ответ: 30