214. Решите уравнения: 1) $3^{2x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4) $0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 214. Решите уравнения: 1) $3^{2x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как основание 3 положительно и не равно 1, показатель должен быть равен нулю: $2x^2+x-12=0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем $x=\frac{-1\pm\sqrt{97}}{4}$.
Основание 2 положительно и не равно 1, поэтому $x^2-7x+10=0$. Разложим на множители: $(x-2)(x-5)=0$, откуда $x=2$ или $x=5$.
Представим 4 как $2^2$. Приравниваем показатели: $\frac{x-1}{x-2}=2$, где $x\ne2$. Тогда $x-1=2x-4$, откуда $x=3$; это значение допустимо.
Область допустимых значений: $x\ne0,-1$. Представим основания степенями двойки: $0{,}5=2^{-1}$, $4=2^2$. Тогда $-\frac1x=\frac2{x+1}$, откуда после умножения на $x(x+1)$ получаем $-(x+1)=2x$, то есть $x=-1$. Это значение запрещено областью допустимых значений.

Ответ: 1) $x=\frac{-1\pm\sqrt{97}}{4}$; 2) $2, 5$; 3) $3$; 4) решений нет.

214. Решите уравнения: 1) \(3^{2x^2+x-12}=1\); 2) \(2^{x^2-7x+10}=1\); 3) \(2^{\frac{x-1}{x-2}}=4\); 4) \(0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}\).