214. Решите уравнения: 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4) $0{,}5^{\frac{1}{x}}=4^{\frac{1}{x+1}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 214. Решите уравнения: 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку основание $3$ положительно и не равно $1$, показатель должен быть равен нулю: $x^2+x-12=0$. Разложим: $(x+4)(x-3)=0$. Поэтому $x=-4$ или $x=3$.
Поскольку основание $2$ положительно и не равно $1$, получаем $x^2-7x+10=0$. Разложим: $(x-2)(x-5)=0$. Поэтому $x=2$ или $x=5$.
Область допустимых значений: $x\ne2$. Представим $4=2^2$ и приравняем показатели: $\frac{x-1}{x-2}=2$. Тогда $x-1=2x-4$, откуда $x=3$. Это значение допустимо.
Область допустимых значений: $x\ne0$, $x\ne-1$. Представим $0{,}5=2^{-1}$ и $4=2^2$: $2^{-1/x}=2^{2/(x+1)}$. Приравниваем показатели: $-\frac1x=\frac2{x+1}$. Тогда $-(x+1)=2x$, откуда $x=-\frac13$. Значение допустимо.

Ответ: 1) $x=-4,3$; 2) $x=2,5$; 3) $x=3$; 4) $x=-\frac13$.

214. Решите уравнения: 1) \(3^{x^2+x-12}=1\); 2) \(2^{x^2-7x+10}=1\); 3) \(2^{\frac{x-1}{x-2}}=4\); 4) \(0{,}5^{\frac{1}{x}}=4^{\frac{1}{x+1}}\).