2145. Около окружности, радиус которой равен 16√2, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( R \) — радиус описанной окружности. Дан вписанный радиус \( r = 16\sqrt{2} \).

Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата:

\( d_{вп.} = 2r = 2 \cdot 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \)

Сторона квадрата \( a \) равна диаметру вписанной окружности:

\( a = 32\sqrt{2} \)

Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата:

\( d_{опис.} = a\sqrt{2} \)

Подставим значение стороны квадрата:

\( d_{опис.} = (32\sqrt{2})\sqrt{2} = 32 \cdot 2 = 64 \)

Радиус описанной окружности равен половине её диаметра:

\( R = \frac{d_{опис.}}{2} = \frac{64}{2} = 32 \)

Ответ: 32.