215. Решите уравнения: 1) $0{,}3^{x^3-x^2+x-1}=1$; 2) $\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^3-2x+8}=1$; 3) $5{,}1^{\frac12(x-3)}=5{,}1\sqrt{5{,}1}$; 4) $100^{x^2-1}=10^{1-5x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 215. Решите уравнения: 1) $0{,}3^{x^3-x^2+x-1}=1$; 2) $\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^3-2x+8}=1$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $0{,}3\ne1$, равенство $0{,}3^t=1$ возможно только при $t=0$. Получаем $x^3-x^2+x-1=0$. Группируем: $x^2(x-1)+(x-1)=0$, то есть $(x-1)(x^2+1)=0$. Среди действительных чисел решение: $x=1$.
Основание $2\frac13=\frac73$ положительно и не равно 1, поэтому показатель должен быть равен нулю: $-x^3-2x+8=0$, или $x^3+2x-8=0$. Подстановка $x=2$ даёт равенство; функция $x^3+2x-8$ строго возрастает, поэтому корень единственный. Следовательно, $x=2$.
Представим правую часть как степень того же основания: $5{,}1\sqrt{5{,}1}=5{,}1^{3/2}$. Тогда $\frac12(x-3)=\frac32$, откуда $x-3=3$ и $x=6$.
Запишем обе части с основанием 10: $10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x}$. Приравниваем показатели: $2x^2-2=1-5x$, то есть $2x^2+5x-3=0$. Разложение: $(2x-1)(x+3)=0$. Поэтому $x=\frac12$ или $x=-3$.

Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 6; 4) $-3;\frac12$.

215. Решите уравнения: 1) \(0{,}3^{x^3-x^2+x-1}=1\); 2) \(\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^3-2x+8}=1\); 3) \(5{,}1^{\frac12(x-3)}=5{,}1\sqrt{5{,}1}\); 4) \(100^{x^2-1}=10^{1-5x}\).