2168. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 1:13:17. Найдите угол D, если около данного четырёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Для четырёхугольника, около которого можно описать окружность (вписанного в окружность), сумма противоположных углов равна 180°. Это свойство вписанного четырёхугольника.

Пусть углы четырёхугольника ABCD равны:

• \( \angle A = x \)
• \( \angle B = 13x \)
• \( \angle C = 17x \)
• \( \angle D = ? \)

Так как четырёхугольник вписанный, то:

• \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} \)
• \( \angle B + \angle D = 180^{\circ} \)

Подставим известные значения в первое уравнение:

\( x + 17x = 180^{\circ} \)

\( 18x = 180^{\circ} \)

\( x = \frac{180^{\circ}}{18} \)

\( x = 10^{\circ} \)

Теперь найдём значения углов A, B и C:

• \( \angle A = x = 10^{\circ} \)
• \( \angle B = 13x = 13 \cdot 10^{\circ} = 130^{\circ} \)
• \( \angle C = 17x = 17 \cdot 10^{\circ} = 170^{\circ} \)

Теперь найдём угол D, используя второе свойство вписанного четырёхугольника:

\( \angle B + \angle D = 180^{\circ} \)

\( 130^{\circ} + \angle D = 180^{\circ} \)

\( \angle D = 180^{\circ} - 130^{\circ} \)

\( \angle D = 50^{\circ} \)

Проверим сумму всех углов четырёхугольника: \( 10^{\circ} + 130^{\circ} + 170^{\circ} + 50^{\circ} = 360^{\circ} \). Это верно.

Ответ: 50.