217. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение: а) 2x² − 10x + 3; б) ⅓x² + 7x − 2; в) 0,5x² + 6x + 1; г) −½x² + ⅓x + ½.

Question

Вопрос:

Фото задания: 217. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение: а) 2x² − 10x + 3; б) ⅓x² + 7x − 2;…

217. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение: а) 2x² − 10x + 3; б) ⅓x² + 7x − 2; в) 0,5x² + 6x + 1; г) −½x² + ⅓x + ½.

Accepted Answer

Квадратный трёхчлен имеет действительные корни, если его дискриминант положителен. Для суммы и произведения корней применим теорему Виета: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), \(x_1x_2=\frac{c}{a}\).

а) \(a=2\), \(b=-10\), \(c=3\). Дискриминант: \(D=(-10)^2-4\cdot2\cdot3=76>0\), значит, корни есть. Их сумма: \(-\frac{-10}{2}=5\); произведение: \(\frac{3}{2}\).
б) \(a=\frac13\), \(b=7\), \(c=-2\). Дискриминант: \(D=7^2-4\cdot\frac13\cdot(-2)=\frac{155}{3}>0\), значит, корни есть. Их сумма: \(-\frac{7}{1/3}=-21\); произведение: \(\frac{-2}{1/3}=-6\).
в) \(a=0{,}5\), \(b=6\), \(c=1\). Дискриминант: \(D=6^2-4\cdot0{,}5\cdot1=34>0\), значит, корни есть. Их сумма: \(-\frac{6}{0{,}5}=-12\); произведение: \(\frac{1}{0{,}5}=2\).
г) \(a=-\frac12\), \(b=\frac13\), \(c=\frac12\). Дискриминант: \(D=(\frac13)^2-4\cdot(-\frac12)\cdot\frac12=\frac{10}{9}>0\), значит, корни есть. Их сумма: \(-\frac{1/3}{-1/2}=\frac23\); произведение: \(\frac{1/2}{-1/2}=-1\).

Ответ: а) сумма 5, произведение \(\frac32\); б) сумма −21, произведение −6; в) сумма −12, произведение 2; г) сумма \(\frac23\), произведение −1. У всех трёхчленов дискриминант положителен, поэтому каждый имеет два действительных корня.