217. При каких n ∈ ℕ верно предложение: а) 19 − n — натуральное число, кратное 3; б) 9n + 1 — число, кратное 11; в) (n − 1)(n + 3) — простое число; г) [условие обрезано]

1. Чтобы 19 − n было положительным и делилось на 3, получаем 19 − n ∈ {3, 6, 9, 12, 15, 18}. Тогда n ∈ {16, 13, 10, 7, 4, 1}.

2. Требуется, чтобы 9n + 1 делилось на 11. По модулю 11: 9n + 1 ≡ 0, откуда 9n ≡ 10. Так как 9 · 5 ≡ 1 (mod 11), n ≡ 50 ≡ 6 (mod 11). Следовательно, n = 11k + 6, где k — целое неотрицательное число.

3. При n ∈ ℕ оба множителя неотрицательны. Чтобы их произведение было простым, один множитель должен быть равен 1. Уравнение n − 1 = 1 даёт n = 2; тогда (n − 1)(n + 3) = 1 · 5 = 5 — простое число. Множитель n + 3 не может быть равен 1.

4. Условие подпункта г) на изображении обрезано, поэтому его нельзя решить. Пришлите, пожалуйста, нижнюю часть задания целиком.

Ответ: а) n ∈ {1, 4, 7, 10, 13, 16}; б) n = 11k + 6, k ∈ {0, 1, 2, …}; в) n = 2.