218. Решите уравнения: 1) 7^x − 7^(x−1) = 6; 2) 3^(2y−1) + 3^(2y−2) − 3^(2y−4) = 315; 3) 5^(3x) + 3 · 5^(3x−2) = 140; 4) 2^(x+1) + 3 · 2^(x−1) − 5 · 2^x + 6 = 0.

Вынесем общий множитель:

7^x − 7^x−1 = 7^x−1(7 − 1) = 6.

Тогда 6 · 7^x−1 = 6, откуда 7^x−1 = 1. Значит, x − 1 = 0 и x = 1.

Вынесем 3^2y−4 за скобки:

3^2y−4(3³ + 3² − 1) = 315.

В скобках получаем 27 + 9 − 1 = 35, поэтому 35 · 3^2y−4 = 315 и 3^2y−4 = 9 = 3².

Приравниваем показатели: 2y − 4 = 2, откуда y = 3.

Представим 5^3x как 25 · 5^3x−2 и вынесем общий множитель:

5^3x−2(25 + 3) = 140.

Получаем 28 · 5^3x−2 = 140, значит, 5^3x−2 = 5 = 5¹.

Тогда 3x − 2 = 1, откуда x = 1.

Положим t = 2^x, где t > 0. Тогда уравнение принимает вид 2t + 3t/2 − 5t + 6 = 0.

Соберём подобные слагаемые: −3t/2 + 6 = 0, поэтому t = 4.

Следовательно, 2^x = 4 = 2², откуда x = 2.