22.05. Контрольная работа по теме "Системы линейных уравнений с двумя переменными". В1. Решайте графически: { x+y=0, { 2x-y=-3 В2. Решайте способом подстановки: { x+2y=4, { 3x-5y=-21 В3. Решайте способом сложения: { 12x+3y=18, { 2x-3y=13 В4. Решайте способом сложения: { 4x+7y=1, { 5x-7y=17

Решение:

В1. Графическое решение системы:

\( \begin{cases} x+y=0 \\ 2x-y=-3 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( y = -x \).

Из второго уравнения выразим \( y = 2x + 3 \).

Построим графики этих двух прямых. Точка их пересечения даст решение системы.

При \( x=0 \) для \( y=-x \) имеем \( y=0 \). Точка (0, 0).

При \( x=1 \) для \( y=-x \) имеем \( y=-1 \). Точка (1, -1).

При \( x=0 \) для \( y=2x+3 \) имеем \( y=3 \). Точка (0, 3).

При \( x=-1 \) для \( y=2x+3 \) имеем \( y=2(-1)+3 = 1 \). Точка (-1, 1).

При \( x=-1 \) для \( y=-x \) имеем \( y=-(-1) = 1 \). Точка (-1, 1).

Пересечение графиков происходит в точке (-1, 1).

Проверка:

-1 + 1 = 0 (верно)

2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 (верно)

Ответ: \( x = -1, y = 1 \).

В2. Решение способом подстановки:

\( \begin{cases} x+2y=4 \\ 3x-5y=-21 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( x = 4 - 2y \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 3(4 - 2y) - 5y = -21 \]

\[ 12 - 6y - 5y = -21 \]

\[ -11y = -21 - 12 \]

\[ -11y = -33 \]

\[ y = 3 \]

Теперь найдём \( x \), подставив \( y=3 \) в \( x = 4 - 2y \):

\[ x = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2 \]

Проверка:

-2 + 2(3) = -2 + 6 = 4 (верно)

3(-2) - 5(3) = -6 - 15 = -21 (верно)

Ответ: \( x = -2, y = 3 \).

В3. Решение способом сложения:

\( \begin{cases} 12x+3y=18 \\ 2x-3y=13 \end{cases} \)

Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \):

\[ (12x+3y) + (2x-3y) = 18 + 13 \]

\[ 14x = 31 \]

\[ x = \frac{31}{14} \]

Теперь подставим \( x = \frac{31}{14} \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \):

\[ 12\left(\frac{31}{14}\right) + 3y = 18 \]

\[ \frac{6 \cdot 31}{7} + 3y = 18 \]

\[ \frac{186}{7} + 3y = 18 \]

\[ 3y = 18 - \frac{186}{7} \]

\[ 3y = \frac{18 \cdot 7 - 186}{7} \]

\[ 3y = \frac{126 - 186}{7} \]

\[ 3y = \frac{-60}{7} \]

\[ y = \frac{-60}{7 \cdot 3} = \frac{-20}{7} \]

Ответ: \( x = \frac{31}{14}, y = -\frac{20}{7} \).

В4. Решение способом сложения:

\( \begin{cases} 4x+7y=1 \\ 5x-7y=17 \end{cases} \)

Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \):

\[ (4x+7y) + (5x-7y) = 1 + 17 \]

\[ 9x = 18 \]

\[ x = 2 \]

Теперь подставим \( x = 2 \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \):

\[ 4(2) + 7y = 1 \]

\[ 8 + 7y = 1 \]

\[ 7y = 1 - 8 \]

\[ 7y = -7 \]

\[ y = -1 \]

Проверка:

4(2) + 7(-1) = 8 - 7 = 1 (верно)

5(2) - 7(-1) = 10 + 7 = 17 (верно)

Ответ: \( x = 2, y = -1 \).