22.(3 балла). Решите уравнение 3+√(3x+1)=x

Решение:

Перенесём число 3 в правую часть уравнения:

\[ \sqrt{3x+1} = x - 3 \]

Для того чтобы избавиться от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{3x+1})^2 = (x - 3)^2 \]

\[ 3x+1 = x^2 - 6x + 9 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 6x - 3x + 9 - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 9x + 8 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь необходимо проверить полученные корни, подставив их в исходное уравнение, а также убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно и правая часть уравнения \( x - 3 \) неотрицательна (так как корень по определению не может быть отрицательным).

Проверка для \( x_1 = 8 \):

Подкоренное выражение: \( 3x+1 = 3 \cdot 8 + 1 = 24 + 1 = 25 \ge 0 \).

Правая часть: \( x - 3 = 8 - 3 = 5 \ge 0 \).

Подставляем в исходное уравнение: \( 3 + \sqrt{25} = 3 + 5 = 8 \). Правая часть равна \( x = 8 \). \( 8 = 8 \). Корень \( x_1 = 8 \) подходит.

Проверка для \( x_2 = 1 \):

Подкоренное выражение: \( 3x+1 = 3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4 \ge 0 \).

Правая часть: \( x - 3 = 1 - 3 = -2 \). Поскольку \( -2 < 0 \), этот корень является посторонним.

Ответ: \( x = 8 \).