22. (3 балла) Решите уравнение: |7х - 2| = 2-7x

Решение:

Рассмотрим два случая, исходя из определения модуля:

1. Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, т.е. \( 7x - 2 \ge 0 \), что означает \( x \ge \frac{2}{7} \). В этом случае уравнение примет вид:
   \( 7x - 2 = 2 - 7x \)
   Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:
   \( 7x + 7x = 2 + 2 \)
   \( 14x = 4 \)
   \( x = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)
   Проверим условие \( x \ge \frac{2}{7} \). Так как \( \frac{2}{7} \ge \frac{2}{7} \), этот корень подходит.
2. Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, т.е. \( 7x - 2 < 0 \), что означает \( x < \frac{2}{7} \). В этом случае уравнение примет вид:
   \( -(7x - 2) = 2 - 7x \)
   \( -7x + 2 = 2 - 7x \)
   Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:
   \( -7x + 7x = 2 - 2 \)
   \( 0 = 0 \)
   Это равенство верно для любого \( x \). Однако, мы рассматриваем этот случай при условии \( x < \frac{2}{7} \). Значит, все \( x \), удовлетворяющие условию \( x < \frac{2}{7} \), являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что уравнение верно для всех \( x \) таких, что \( x \le \frac{2}{7} \).

Ответ: \( x \le \frac{2}{7} \).