22.6. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) cos x = 1/2, x ∈ [1; 6]; б) cos x = √2/2, x ∈ [-π/4; 12]; B) cos x = -1/2, x ∈ [2; 10]; г) cos x = -√2/2, x ∈ [-4; 5π/4].

Задание 22.6. Поиск корней тригонометрических уравнений

Привет! Давай разберёмся с каждым пунктом этого задания по порядку.

а) \( \cos x = \frac{1}{2} \), \( x \in [1; 6] \)

Решение:

1. Основной принцип решения таких уравнений — найти значения \( x \), для которых косинус равен \( \frac{1}{2} \). Мы знаем, что \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).
2. Общее решение уравнения \( \cos x = \frac{1}{2} \) имеет вид \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
3. Теперь подставим значения \( k \) и проверим, попадают ли полученные \( x \) в интервал \( [1; 6] \).
4. При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \). Это значение попадает в интервал \( [1; 6] \).
5. При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33 \). Это значение больше 6, поэтому не подходит.
6. Рассмотрим отрицательное значение: \( x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047 \). Это значение меньше 1, поэтому не подходит.
7. При \( k=1 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5.236 \). Это значение попадает в интервал \( [1; 6] \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \).

б) \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( x \in [-\frac{\pi}{4}; 12] \)

Решение:

1. Мы знаем, что \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. Общее решение уравнения \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет вид \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
3. Проверим значения \( k \) в интервале \( [-\frac{\pi}{4}; 12] \).
4. При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \). Это значение попадает в интервал.
5. При \( k=0 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785 \). Это значение попадает в интервал.
6. При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.068 \). Это значение попадает в интервал.
7. При \( k=1 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498 \). Это значение попадает в интервал.
8. При \( k=2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13.35 \). Это значение больше 12, поэтому не подходит.
9. При \( k=-1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \approx -5.498 \). Это значение меньше -0.785, поэтому не подходит.
10. При \( k=-1 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.068 \). Это значение меньше -0.785, поэтому не подходит.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4} \).

B) \( \cos x = -\frac{1}{2} \), \( x \in [2; 10] \)

Решение:

1. Мы знаем, что \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \).
2. Общее решение уравнения \( \cos x = -\frac{1}{2} \) имеет вид \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
3. Проверим значения \( k \) в интервале \( [2; 10] \).
4. При \( k=0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094 \). Это значение попадает в интервал.
5. При \( k=0 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.094 \). Это значение меньше 2, поэтому не подходит.
6. При \( k=1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.378 \). Это значение попадает в интервал.
7. При \( k=1 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.189 \). Это значение попадает в интервал.
8. При \( k=2 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \approx 14.66 \). Это значение больше 10, поэтому не подходит.
9. При \( k=2 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.472 \). Это значение больше 10, поэтому не подходит.

Ответ: \( x = \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3} \).

г) \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( x \in [-4; \frac{5\pi}{4}] \)

Решение:

1. Мы знаем, что \( \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. Общее решение уравнения \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет вид \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
3. Проверим значения \( k \) в интервале \( [-4; \frac{5\pi}{4}] \). \( \frac{5\pi}{4} \approx 3.927 \).
4. При \( k=0 \): \( x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356 \). Это значение попадает в интервал.
5. При \( k=0 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356 \). Это значение попадает в интервал.
6. При \( k=1 \): \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.64 \). Это значение больше \( \frac{5\pi}{4} \), поэтому не подходит.
7. При \( k=1 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \approx 3.927 \). Это значение попадает в интервал (верхняя граница).
8. При \( k=-1 \): \( x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927 \). Это значение попадает в интервал.
9. При \( k=-1 \) для отрицательного значения: \( x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8.64 \). Это значение меньше -4, поэтому не подходит.

Ответ: \( x = -\frac{11\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} \).