22.75. В однородное магнитное поле с индукцией 85 мТл влетает электрон со скоростью 4,6 · 10^7 м/с, направленной перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить силу, действующую на электрон в магнитном поле, и радиус дуги окружности, по которой он движется.

Решение:

Для решения задачи нам потребуются следующие формулы:

• Сила Лоренца: \( F = qvB ⋅ \sin{\alpha} \)
• Второй закон Ньютона для движения по окружности: \( F = \frac{mv^2}{R} \)

Где:

• \( F \) — сила Лоренца (Н)
• \( q \) — заряд частицы (Кл)
• \( v \) — скорость частицы (м/с)
• \( B \) — индукция магнитного поля (Тл)
• \( \alpha \) — угол между векторами скорости и магнитной индукции (градусы)
• \( m \) — масса частицы (кг)
• \( R \) — радиус окружности (м)

Дано:

• \( B = 85 \text{ мТл} = 85 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \)
• \( v = 4,6 \cdot 10^7 \text{ м/с} \)
• \( q = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \) (заряд электрона)
• \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \) (масса электрона)
• \( \alpha = 90^{\circ} \) (так как скорость перпендикулярна линиям индукции)

Найти:

• \( F \) — ?
• \( R \) — ?

1. Расчет силы Лоренца (F):

Поскольку \( \alpha = 90^{\circ} \), \( \sin{\alpha} = 1 \). Сила Лоренца равна:

\[ F = |q|vB \] (берем модуль заряда, так как сила направлена по касательной к траектории, а направление определяем по правилу левой руки)\[ F = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 4,6 \cdot 10^7 \text{ м/с} \cdot 85 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} \]\[ F = 1,6 \cdot 4,6 \cdot 85 \cdot 10^{-19+7-3} \text{ Н}} \]\[ F = 6,24 \cdot 10^{-15} \text{ Н}} \]

2. Расчет радиуса окружности (R):

Так как электрон движется в магнитном поле под действием силы Лоренца, эта сила является центростремительной. Приравниваем силу Лоренца и формулу центростремительной силы:

\[ |q|vB = \frac{mv^2}{R} \]

Выражаем радиус \( R \):

\[ R = \frac{mv^2}{|q|vB} = \frac{mv}{|q|B} \]

Подставляем значения:

\[ R = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 4,6 \cdot 10^7 \text{ м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 85 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}} \]\[ R = \frac{9,1 \cdot 4,6 \cdot 10^{-31+7}}{1,6 \cdot 85 \cdot 10^{-19-3}} \text{ м}} \]\[ R = \frac{41,86 \cdot 10^{-24}}{136 \cdot 10^{-22}} \text{ м}} \]\[ R \approx 0,308 \cdot 10^{-2} \text{ м}} \]\[ R \approx 3,08 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 3,08 \text{ мм}} \]

Ответ: Сила, действующая на электрон, равна \( 6,24 \cdot 10^{-15} \text{ Н} \). Радиус дуги окружности равен \( 3,08 \cdot 10^{-3} \text{ м} \).