22 На рисунке 4.21 изображен куб. а) Назовите все грани, рёбра, вершины куба. б) Какие рёбра являются сторонами грани QRPX? в) Какие вершины принадлежат верхней грани? г) Какие рёбра равны ребру RS? д) Какие грани равны грани YQRS? 123 Найдите, сколько метров проволоки нужно для изготовления каркасов пяти прямоугольных параллелепипедов (рис. 4.22). 124 Разбираемся в решении. Найдите площадь поверхности пря- моугольного параллелепипеда (т. е. сумму площадей его гра- ни).

22. Куб

Пусть вершины куба обозначены следующим образом: нижнее основание - ABCD, верхнее основание - A₁B₁C₁D₁. Ребра: AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ (боковые), AB, BC, CD, DA (нижние), A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ (верхние). Грани: ABCD, A₁B₁C₁D₁ (основания), ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁ (боковые).

а) Все грани куба - квадраты. Все рёбра куба равны. Вершин у куба 8.

б) Рёбра QR, RP, PX, XQ являются сторонами грани QRPX.

в) Вершины, принадлежащие верхней грани: Q, R, P, X.

г) Если RS - ребро куба, то всем рёбрам куба равны рёбра, имеющие ту же длину, что и RS. Например, QR, PX, XQ, а также все рёбра нижнего основания и боковые рёбра (если RS - ребро нижнего основания).

д) Грани YQRS и той грани, которая ей параллельна и имеет такие же размеры.

123. Каркасы параллелепипедов

На рисунке 4.22 изображен прямоугольный параллелепипед с измерениями 4 дм, 5 дм и 7 дм.

Длина проволоки для одного каркаса равна сумме длин всех рёбер. У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: 4 длины, 4 ширины и 4 высоты.

Периметр одного каркаса: \( P = 4 \cdot (4 \text{ дм} + 5 \text{ дм} + 7 \text{ дм}) = 4 \cdot 16 \text{ дм} = 64 \text{ дм} \)

Переведём дециметры в метры: \( 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м} \). Значит, \( 64 \text{ дм} = 6.4 \text{ м} \).

Для изготовления пяти каркасов понадобится:

\( 5 \cdot 6.4 \text{ м} = 32 \text{ м} \)

Ответ: 32 метра.

124. Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. У параллелепипеда 6 граней, попарно равных.

Площадь двух граней с размерами 4 дм и 5 дм: \( S_1 = 2 \cdot (4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм}) = 2 \cdot 20 \text{ дм}^2 = 40 \text{ дм}^2 \)

Площадь двух граней с размерами 4 дм и 7 дм: \( S_2 = 2 \cdot (4 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм}) = 2 \cdot 28 \text{ дм}^2 = 56 \text{ дм}^2 \)

Площадь двух граней с размерами 5 дм и 7 дм: \( S_3 = 2 \cdot (5 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм}) = 2 \cdot 35 \text{ дм}^2 = 70 \text{ дм}^2 \)

Общая площадь поверхности:

\( S_{\text{общей}} = S_1 + S_2 + S_3 = 40 \text{ дм}^2 + 56 \text{ дм}^2 + 70 \text{ дм}^2 = 166 \text{ дм}^2 \)

Ответ: 166 дм².