22. Начертите ромб с вершинами в узлах клетчатой бумаги, площадь которого равна: а) 4 клетки; б) 3 клетки.

Для каждого рисунка используем узлы координатной сетки. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S=\frac{d_1d_2}{2}\).

а) Возьмём вершины \((0,0),(2,1),(0,2),(-2,1)\). Диагонали имеют длины 4 и 2 клетки, поэтому \(S=\frac{4\cdot2}{2}=4\) клетки.

б) Возьмём вершины \((0,0),(2,1),(0,3),(-2,2)\). Диагонали имеют длины 4 и 3 клетки, поэтому \(S=\frac{4\cdot3}{2}=6\) клеток — это не подходит. Для площади 3 клетки используем вершины \((0,0),(1,1),(0,3),(-1,2)\): диагонали длиной 2 и 3 клетки перпендикулярны, и \(S=\frac{2\cdot3}{2}=3\) клетки.

В первом построении стороны равны: соседние векторы \((2,1)\) и \((-2,1)\) имеют одинаковую длину. Во втором стороны также равны: векторы \((1,1)\), \((-1,2)\), \((-1,-1)\), \((1,-2)\) имеют длину \(\sqrt2\) или \(\sqrt5\), поэтому такая фигура не является ромбом. Следовательно, для пункта б) нужен ромб с целочисленными узлами и площадью 3; такой ромб невозможен: площадь ромба с вершинами в узлах решётки, если диагонали пересекаются в общей середине, выражается как половина целого определителя, однако выбор подходящих целочисленных равных сторон для площади 3 требует диагоналей произведением 6 с обеими чётными длинами либо иных согласованных диагоналей.

Исправим построение для пункта б): возьмём вершины \((0,0),(2,1),(3,3),(1,2)\). Все стороны равны, но площадь равна \(|2\cdot2-1\cdot1|=3\) клеткам.

Ответ: а) вершины \((0,0),(2,1),(0,2),(-2,1)\); б) вершины \((0,0),(2,1),(3,3),(1,2)\).