22. Найдите натуральный корень уравнения:

Решение:

Дано уравнение: \( \frac{14}{5 - \log_7 x} + \frac{9}{5 + \log_7 x} = 5 \).

1. Пусть \( y = \log_7 x \). Тогда уравнение примет вид: \( \frac{14}{5 - y} + \frac{9}{5 + y} = 5 \).
2. Приведем дроби к общему знаменателю \( (5-y)(5+y) \): \( \frac{14(5+y) + 9(5-y)}{(5-y)(5+y)} = 5 \).
3. Раскроем скобки и упростим числитель: \( \frac{70 + 14y + 45 - 9y}{25 - y^2} = 5 \).
4. \( \frac{115 + 5y}{25 - y^2} = 5 \).
5. Умножим обе части на \( 25 - y^2 \), предполагая, что \( 25 - y^2 \neq 0 \) (т.е. \( y \neq \pm 5 \)): \( 115 + 5y = 5(25 - y^2) \).
6. \( 115 + 5y = 125 - 5y^2 \).
7. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 5y^2 + 5y + 115 - 125 = 0 \).
8. \( 5y^2 + 5y - 10 = 0 \).
9. Разделим все на 5: \( y^2 + y - 2 = 0 \).
10. Решим квадратное уравнение для \( y \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
11. \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \).
12. \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \).
13. Проверим, не равны ли \( y \) значениям \( \pm 5 \). \( 1 \neq \pm 5 \) и \( -2 \neq \pm 5 \). Условия выполнены.
14. Теперь вернемся к замене \( y = \log_7 x \).
15. Случай 1: \( y = 1 \). \( \log_7 x = 1 \). По определению логарифма, \( x = 7^1 = 7 \).
16. Случай 2: \( y = -2 \). \( \log_7 x = -2 \). По определению логарифма, \( x = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \).
17. Условие задачи — найти натуральный корень. Натуральное число — это целое положительное число. Из найденных корней \( x=7 \) и \( x=\frac{1}{49} \), натуральным является \( x=7 \).

Ответ: 7