22. Найдите производную функции y'(1), если y = (1+x)/(2-x).

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \frac{1+x}{2-x} \) используем правило дифференцирования частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 1+x \) и \( v = 2-x \).

1. Найдём производную числителя: \( u' = (1+x)' = 1 \).
2. Найдём производную знаменателя: \( v' = (2-x)' = -1 \).
3. Подставим в формулу производной частного: \[ y' = \frac{1 \cdot (2-x) - (1+x) \cdot (-1)}{(2-x)^2} \]
4. Упростим выражение: \[ y' = \frac{2-x + 1+x}{(2-x)^2} = \frac{3}{(2-x)^2} \]
5. Теперь найдём значение производной в точке \( x=1 \): \[ y'(1) = \frac{3}{(2-1)^2} = \frac{3}{1^2} = 3 \]

Ответ: 3