22. Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 л она заполняет на 2 мин дольше, чем вторая труба?

Решение:

Пусть \( x \) л/мин — производительность второй трубы.

Тогда \( (x-5) \) л/мин — производительность первой трубы.

Время заполнения резервуара второй трубой: \( \frac{200}{x} \) мин.

Время заполнения резервуара первой трубой: \( \frac{200}{x-5} \) мин.

По условию, первая труба заполняет резервуар на 2 минуты дольше, чем вторая:

\( \frac{200}{x-5} - \frac{200}{x} = 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x-5) \) для избавления от знаменателей (при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 5 \)):

\( 200x - 200(x-5) = 2x(x-5) \)

\( 200x - 200x + 1000 = 2x^2 - 10x \)

\( 1000 = 2x^2 - 10x \)

\( 2x^2 - 10x - 1000 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 - 5x - 500 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45 \)

Найдем \( x \):

\( x_1 = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

\( x_2 = \frac{5 - 45}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \)

Производительность трубы не может быть отрицательной, поэтому \( x = 25 \) л/мин (производительность второй трубы).

Производительность первой трубы: \( x-5 = 25-5 = 20 \) л/мин.

Проверка:

Время первой трубы: \( \frac{200}{20} = 10 \) мин.

Время второй трубы: \( \frac{200}{25} = 8 \) мин.

Разница во времени: \( 10 - 8 = 2 \) мин.

Условие выполнено.

Ответ: 20 л/мин.