22. Построй график функции у = х² - 4|x| + 3 и определи, какое наибольшее количество общих точек график этой функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Анализ функции и построение графика

Дана функция \( y = x^2 - 4|x| + 3 \). Чтобы построить график, мы можем рассмотреть два случая для \( |x| \):

Случай 1: \( x ≥ 0 \)

В этом случае \( |x| = x \), и функция принимает вид:

\( y = x^2 - 4x + 3 \)

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы по формуле \( x_в = -b / (2a) \):

\( x_в = -(-4) / (2 · 1) = 4 / 2 = 2 \)

Найдем значение \( y \) в вершине:

\( y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, -1) \). Найдем точки пересечения с осью \( Ox \) (то есть, когда \( y = 0 \)):

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета):

\( x_1 + x_2 = 4 \), \( x_1 · x_2 = 3 \)

Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \). Точки пересечения с \( Ox \): \( (1, 0) \) и \( (3, 0) \).

Найдем точку пересечения с осью \( Oy \) (когда \( x = 0 \)):

\( y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 \). Точка: \( (0, 3) \).

Случай 2: \( x < 0 \)

В этом случае \( |x| = -x \), и функция принимает вид:

\( y = x^2 - 4(-x) + 3 \) \( y = x^2 + 4x + 3 \)

Это также парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину:

\( x_в = -b / (2a) = -4 / (2 · 1) = -4 / 2 = -2 \)

Найдем значение \( y \) в вершине:

\( y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)

Вершина параболы находится в точке \( (-2, -1) \).

Найдем точки пересечения с осью \( Ox \) (когда \( y = 0 \)):

\( x^2 + 4x + 3 = 0 \)

Корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = -3 \). Точки пересечения с \( Ox \): \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \).

Построение графика

График функции \( y = x^2 - 4|x| + 3 \) является симметричным относительно оси \( Oy \) (так как \( |x| \) — четная функция). Он состоит из двух частей парабол:

• Для \( x ≥ 0 \): \( y = x^2 - 4x + 3 \) с вершиной \( (2, -1) \), пересекающей \( Ox \) в точках \( (1, 0) \) и \( (3, 0) \).
• Для \( x < 0 \): \( y = x^2 + 4x + 3 \) с вершиной \( (-2, -1) \), пересекающей \( Ox \) в точках \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \).

Верхняя точка графика — \( (0, 3) \).

Определение наибольшего количества общих точек

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \), где \( k \) — некоторое число. Нам нужно найти наибольшее количество точек пересечения графика функции \( y = x^2 - 4|x| + 3 \) с такой прямой.

Рассмотрим значения \( y \) на графике:

• Минимальные значения \( y \) достигаются в вершинах парабол и равны \( -1 \).
• Максимальное значение \( y \) в точке \( (0, 3) \) равно \( 3 \).

Теперь проанализируем, сколько точек пересечения может быть при разных значениях \( k \) для прямой \( y = k \):

• Если \( k < -1 \), прямая \( y = k \) не пересекает график. (0 точек)
• Если \( k = -1 \), прямая \( y = -1 \) касается графика в двух точках (вершинах \( (-2, -1) \) и \( (2, -1) \)). (2 точки)
• Если \( -1 < k < 0 \), прямая \( y = k \) пересекает график в четырех точках. (4 точки)
• Если \( k = 0 \), прямая \( y = 0 \) (ось \( Ox \)) пересекает график в четырех точках (\( (-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0) \)). (4 точки)
• Если \( 0 < k < 3 \), прямая \( y = k \) пересекает график в четырех точках. (4 точки)
• Если \( k = 3 \), прямая \( y = 3 \) пересекает график в двух точках ( \( (0, 3) \) и еще по одной точке с каждой стороны от оси \( Oy \), где \( x^2 - 4|x| + 3 = 3 \) => \( x^2 - 4|x| = 0 \) => \( |x|(|x| - 4) = 0 \) => \( |x|=0 \) или \( |x|=4 \), т.е. \( x=0, x=4, x=-4 \)). Точки: \( (-4, 3), (0, 3), (4, 3) \). (3 точки)
• Если \( k > 3 \), прямая \( y = k \) пересекает график в двух точках. (2 точки)

Наибольшее количество общих точек достигается, когда \( -1 < k < 3 \) (исключая \( k=3 \)), и это количество равно 4.

Ответ: 4