22. Построй график функции у = |x^2 - x - 6| и определи, при каком значении m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

1. Построение графика функции y = |x^2 - x - 6|:

   Сначала построим график квадратичной функции y = x^2 - x - 6. Для этого найдем вершину параболы:

   x_в = -b / (2a) = -(-1) / (2 * 1) = 1/2

   y_в = (1/2)^2 - (1/2) - 6 = 1/4 - 1/2 - 6 = 1/4 - 2/4 - 24/4 = -25/4

   Вершина параболы находится в точке (1/2, -25/4) или (0.5, -6.25).

   Найдем точки пересечения с осью x, приравняв y к 0:

   x^2 - x - 6 = 0

   D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

   x₁ = (1 + 5) / 2 = 3

   x₂ = (1 - 5) / 2 = -2

   График пересекает ось x в точках (-2, 0) и (3, 0).

   Теперь учтем модуль: часть графика, лежащая ниже оси x, отражается вверх. Таким образом, минимум функции y = x^2 - x - 6 в точке (0.5, -6.25) становится максимумом для y = |x^2 - x - 6|, и эта точка будет (0.5, 6.25).

   График функции y = |x^2 - x - 6| имеет вид:

2. Определение значения m:

   Прямая y = m является горизонтальной линией. Нам нужно найти такое значение m, при котором эта прямая пересекает график функции y = |x^2 - x - 6| ровно в трех точках.

   Анализируя график:

   • Если m < 0, прямая не пересекает график (0 точек).
   • Если m = 0, прямая пересекает график в двух точках (x = -2 и x = 3).
   • Если 0 < m < 6.25, прямая пересекает график в четырех точках.
   • Если m = 6.25, прямая y = 6.25 будет касаться вершины параболы (отраженной части) и пересекать одну из ветвей графика. Таким образом, будет ровно три точки пересечения.
   • Если m > 6.25, прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: 6.25