22. Построй график функции у = |x|(2x – 1) – 3х и определи, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить график функции y = |x|(2x - 1) - 3x и определить, при каких значениях m горизонтальная линия y = m пересекает график ровно два раза.

1. Преобразуем функцию, раскрывая модуль:

Функция имеет два случая:

• Если x ≥ 0: |x| = x. Тогда функция принимает вид: y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x.
• Если x < 0: |x| = -x. Тогда функция принимает вид: y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x.

2. Анализируем каждую часть функции:

• Часть 1 (x ≥ 0): y = 2x^2 - 4x. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке x = -(-4) / (2*2) = 1. Соответствующее значение y равно y = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2. Таким образом, вершина находится в точке (1, -2). При x = 0, y = 0.
• Часть 2 (x < 0): y = -2x^2 - 2x. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке x = -(-2) / (2*(-2)) = 2 / -4 = -0.5. Соответствующее значение y равно y = -2(-0.5)^2 - 2(-0.5) = -2(0.25) + 1 = -0.5 + 1 = 0.5. Таким образом, вершина находится в точке (-0.5, 0.5). При приближении к x = 0 (с отрицательной стороны), y стремится к 0.

3. Построение графика и анализ пересечений:

График функции состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке (0,0). Правая ветвь (x ≥ 0) имеет минимум в точке (1, -2). Левая ветвь (x < 0) имеет максимум в точке (-0.5, 0.5).

Теперь рассмотрим, как горизонтальная линия y = m пересекает этот график:

• Если m > 0.5 (выше вершины левой ветви), линия пересекает только правую ветвь (в одной точке).
• Если m = 0.5 (на уровне вершины левой ветви), линия пересекает левую ветвь в одной точке (вершина) и правую ветвь в одной точке. Всего 2 точки.
• Если -2 < m < 0.5, линия пересекает обе ветви: левую — в двух точках, правую — в двух точках. Всего 4 точки.
• Если m = -2 (на уровне вершины правой ветви), линия пересекает правую ветвь в одной точке (вершина) и левую ветвь в одной точке. Всего 2 точки.
• Если m < -2 (ниже вершины правой ветви), линия пересекает только левую ветвь (в одной точке).

Таким образом, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, когда m = 0.5 или m = -2.

4. Формулировка ответа:

Значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, равны -2 и 0.5. Запишем их в порядке возрастания без пробелов и запятых.

Ответ: -20.5