22. Построй график функции у = |x|(2x – 1) – 3x и определи, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Краткое пояснение:

Построение графика функции:

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

• Случай 1: \( x \ge 0 \)
  В этом случае \( |x| = x \).
  \( y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x \)
  Это парабола ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_в = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1 \).
  \( y_в = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2 \).
  Точки пересечения с осью x: \( 2x^2 - 4x = 0 \) \( 2x(x - 2) = 0 \) \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
• Случай 2: \( x < 0 \)
  В этом случае \( |x| = -x \).
  \( y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x \)
  Это парабола ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке \( x_в = -(-2) / (2 \cdot -2) = 2 / -4 = -0.5 \).
  \( y_в = -2(-0.5)^2 - 2(-0.5) = -2(0.25) + 1 = -0.5 + 1 = 0.5 \).
  Точки пересечения с осью x: \( -2x^2 - 2x = 0 \) \( -2x(x + 1) = 0 \) \( x = 0 \) или \( x = -1 \).

График будет состоять из двух частей парабол:

• Для \( x \ge 0 \) — часть параболы \( y = 2x^2 - 4x \).
• Для \( x < 0 \) — часть параболы \( y = -2x^2 - 2x \).

Определение значений m:

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Для того чтобы она имела ровно две общие точки с графиком функции, она должна пройти через:

• Вершину параболы ветвями вниз (при \( x < 0 \)): \( y = 0.5 \).
• Область между вершиной параболы ветвями вверх (при \( x \ge 0 \)) и осью x: \( -2 < y < 0 \).
• Точку пересечения \( x = -1 \) графика \( y = -2x^2 - 2x \) с осью x, где \( y=0 \).

Таким образом, значения \( m \) должны быть:

• \( m = 0.5 \) (вершина верхней части графика)
• \( m = 0 \) (пересечение с осью x)
• Значения \( m \) между \( -2 \) (вершина нижней части графика) и \( 0 \).

Для того чтобы прямая \( y=m \) имела ровно две общие точки, \( m \) должно быть больше минимума функции \( y = 2x^2 - 4x \) (который равен -2) и меньше максимума функции \( y = -2x^2 - 2x \) (который равен 0.5), исключая значение 0.5, так как при \( y = 0.5 \) есть только одна точка пересечения (вершина). Также, \( m \) должно быть больше или равно 0, чтобы пересечься с графиком дважды.

Рассмотрим более внимательно:

• Если \( m = 0.5 \), то прямая \( y = 0.5 \) имеет одну точку пересечения (вершина параболы для \( x < 0 \)).
• Если \( m = 0 \), то прямая \( y = 0 \) имеет две точки пересечения (на оси x, \( x=-1 \) и \( x=2 \)).
• Если \( -2 < m < 0 \), то прямая \( y = m \) имеет две точки пересечения.

Следовательно, прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком, когда \( m \) находится в интервале \( (-2, 0) \) или \( m = 0 \) (это уже учтено в интервале, так как границы включены). Также, нам нужно рассмотреть случай, когда \( m \) равно значению функции в другой точке, отличной от вершины. Если \( m = 0.5 \), то есть одна точка. Если \( m \) находится между 0 и 0.5, то будет две точки.

Пересмотрим условие: