22. Построй график функции у = x² + x / 2 |x + 1| + 2. Определи, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

1. Анализ функции:

   Функция задана как y = x² + x / 2 |x + 1| + 2. Необходимо построить график этой функции.

2. Разделение на случаи:

   Из-за наличия модуля |x + 1|, рассмотрим два случая:

   • Случай 1: x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ -1. В этом случае |x + 1| = x + 1. Функция принимает вид:y = x² + x/2 * (x + 1) + 2
y = x² + x²/2 + x/2 + 2
y = 3x²/2 + x/2 + 2
   • Случай 2: x + 1 < 0, то есть x < -1. В этом случае |x + 1| = -(x + 1). Функция принимает вид:y = x² + x/2 * (-(x + 1)) + 2
y = x² - x²/2 - x/2 + 2
y = x²/2 - x/2 + 2
3. Построение графика:

   Необходимо построить график, состоящий из двух парабол, соединенных в точке x = -1.

   • Для x ≥ -1: y = 3x²/2 + x/2 + 2. Вершина параболы находится в точке x = -b / (2a) = -(1/2) / (2 * 3/2) = -(1/2) / 3 = -1/6.
     Значение в вершине: y = 3(-1/6)²/2 + (-1/6)/2 + 2 = 3/72 - 1/12 + 2 = 1/24 - 2/24 + 48/24 = 47/24 ≈ 1.96.
   • Для x < -1: y = x²/2 - x/2 + 2. Вершина параболы находится в точке x = -b / (2a) = -(-1/2) / (2 * 1/2) = (1/2) / 1 = 1/2. Однако, эта часть параболы действует только для x < -1, поэтому вершина x=1/2 не попадает в область определения.

   На точке x = -1:

   • Левая часть (x < -1): y = (-1)²/2 - (-1)/2 + 2 = 1/2 + 1/2 + 2 = 3.
   • Правая часть (x ≥ -1): y = 3(-1)²/2 + (-1)/2 + 2 = 3/2 - 1/2 + 2 = 1 + 2 = 3.

   График будет состоять из двух частей парабол, сходящихся в точке (-1, 3).

4. Определение значения m:

   Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Это происходит, когда прямая проходит через:

   • Вершину одной из частей параболы.
   • Точку излома графика (где функции соединяются).

   Вершина параболы для x ≥ -1 находится в точке (-1/6, 47/24). Значит, m = 47/24.

   Точка излома графика находится в (-1, 3). Значит, m = 3.

   При m = 3, прямая y=3 пересекает график в трех точках: (-1, 3), и двух точках, где x²/2 - x/2 + 2 = 3 (для x < -1) и 3x²/2 + x/2 + 2 = 3 (для x ≥ -1).

   • x²/2 - x/2 - 1 = 0 -> x² - x - 2 = 0 -> (x-2)(x+1)=0. Так как x < -1, решений нет.
   • 3x²/2 + x/2 - 1 = 0 -> 3x² + x - 2 = 0.
     D = 1² - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25.
     x = (-1 ± 5) / 6. x1 = 4/6 = 2/3 (подходит, так как ≥ -1). x2 = -6/6 = -1 (также подходит).

   Значит, прямая y=3 пересекает график в двух точках: (-1, 3) и (2/3, 3). Это дает две точки.

   Рассмотрим случай, когда прямая y=m проходит через вершину параболы y = 3x²/2 + x/2 + 2, которая находится в точке (-1/6, 47/24). В этом случае m = 47/24. Эта прямая будет касаться параболы в вершине (1 точка) и пересекать другую часть параболы y = x²/2 - x/2 + 2 в двух точках (если 47/24 < 3).

   47/24 ≈ 1.96. 3.

   Итак, при m = 47/24, прямая y = 47/24 будет касаться правой части параболы в вершине (1 точка) и пересекать левую часть параболы в двух точках, так как 47/24 < 3. Это даст нам три точки.

   Возможны еще три точки, если прямая y=m проходит через точку пересечения двух парабол (-1, 3). Если m=3, то прямая y=3 будет пересекать график в точке (-1, 3) и в двух других точках, найденных ранее. Это тоже три точки.

5. Проверка:

   Проверим, когда прямая y = m пересекает график ровно в трех точках. Это происходит, когда прямая проходит через:

   • Точку излома (-1, 3). В этом случае m = 3. Прямая y = 3 пересекает график в точке (-1, 3). Для x ≥ -1: 3x²/2 + x/2 + 2 = 3 => 3x² + x - 2 = 0 => (3x-2)(x+1)=0, решения x=2/3 и x=-1. Для x < -1: x²/2 - x/2 + 2 = 3 => x² - x - 2 = 0 => (x-2)(x+1)=0, решений нет в области x < -1. Таким образом, при m=3, есть две точки пересечения: (-1, 3) и (2/3, 3).
   • Вершину правой части параболы y = 3x²/2 + x/2 + 2. Вершина находится при x = -1/6, y = 3(-1/6)²/2 + (-1/6)/2 + 2 = 3/72 - 1/12 + 2 = 1/24 - 2/24 + 48/24 = 47/24. Если m = 47/24, прямая касается правой параболы в вершине (1 точка) и пересекает левую параболу y = x²/2 - x/2 + 2. Найдем точки пересечения: x²/2 - x/2 + 2 = 47/24. 12x² - 12x + 48 = 47. 12x² - 12x + 1 = 0. D = (-12)² - 4 * 12 * 1 = 144 - 48 = 96. x = (12 ± sqrt(96)) / 24 = (12 ± 4*sqrt(6)) / 24 = (3 ± sqrt(6)) / 6. Оба значения x меньше -1? sqrt(6) ≈ 2.45. (3 - 2.45)/6 ≈ 0.09 (не меньше -1). (3 + 2.45)/6 ≈ 0.9 (не меньше -1). Значит, прямая y = 47/24 пересекает левую часть графика вне области определения.

   Рассмотрим внимательно график. График состоит из двух ветвей параболы. Точка (-1, 3) - точка