22. Построй график функции \(y=-x^2+7|x|-2\). Определи, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

При \(x\ge 0\) имеем \(|x|=x\), а при \(x<0\) — \(|x|=-x\). Поэтому график состоит из двух ветвей:

\(y=-x^2+7x-2\) при \(x\ge 0\);
\(y=-x^2-7x-2\) при \(x<0\).

Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси ординат. Для правой ветви вершина находится при \(x=\frac{7}{2}\), а её ордината равна \(\frac{41}{4}\). Соответствующая вершина левой ветви — \((-\frac{7}{2};\frac{41}{4})\).

На каждом из промежутков \([0;\frac{7}{2}]\to[-2;\frac{41}{4}]\) и \([\frac{7}{2};+\infty)\to(-\infty;\frac{41}{4}]\) правая половина графика принимает значения от \(-2\) до максимума и затем убывает. Для любого уровня \(-2<y<\frac{41}{4}\) уравнение на \(|x|\) имеет два положительных решения; каждому соответствует пара значений \(x=\pm|x|\). Значит, горизонтальная прямая такого уровня пересекает график в четырёх точках.

Ответ: наибольшее число общих точек — 4.