22. Построй график функции y = |x^2 - x - 6| и определи, при каком значении m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Привет! Давай разберемся с этим заданием по математике вместе.

Шаг 1: Строим график функции $$y = x^2 - x - 6$$.

Это парабола. Чтобы ее построить, найдем:

• Вершину: Координата x вершины находится по формуле $$x_в = -b / (2a)$$. В нашем случае $$a=1, b=-1$$, значит $$x_в = -(-1) / (2*1) = 1/2$$. Найдем $$y_в = (1/2)^2 - (1/2) - 6 = 1/4 - 1/2 - 6 = -25/4$$. Вершина в точке $$(1/2; -25/4)$$.
• Точки пересечения с осью X: Приравняем $$y = 0$$. $$x^2 - x - 6 = 0$$. По теореме Виета корни: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -2$$. Точки пересечения: $$(-2; 0)$$ и $$(3; 0)$$.
• Точку пересечения с осью Y: При $$x=0$$, $$y = 0^2 - 0 - 6 = -6$$. Точка пересечения: $$(0; -6)$$.

Шаг 2: Строим график функции $$y = |x^2 - x - 6|$$.

График функции $$y = |f(x)|$$ получается из графика $$y = f(x)$$ следующим образом: все, что ниже оси X, зеркально отражается вверх.

• У нашей параболы $$y = x^2 - x - 6$$ ветви направлены вверх, а пересечения с осью X — в точках $$(-2; 0)$$ и $$(3; 0)$$. Часть параболы между этими точками находится ниже оси X.
• Эту часть мы отражаем вверх. Таким образом, у нас получается новый график, который будет иметь «изгибы» в точках $$(-2; 0)$$ и $$(3; 0)$$, а вершина, которая была в $$(1/2; -25/4)$$, станет располагаться в $$(1/2; 25/4)$$.

Шаг 3: Определяем, при каком значении $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Прямая $$y = m$$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти, сколько раз эта линия пересекает наш полученный график.

• Если $$m < 0$$, прямая не пересечет график (так как все значения $$y$$ на графике неотрицательны).
• Если $$m = 0$$, прямая $$y = 0$$ (ось X) пересечет график в двух точках: $$(-2; 0)$$ и $$(3; 0)$$.
• Если $$m > 0$$ и $$m$$ меньше значения отраженной вершины ($$25/4$$), прямая пересечет график в четырех точках.
• Если $$m = 25/4$$, прямая $$y = 25/4$$ пройдет через отраженную вершину. Она будет касаться этой вершины (одна точка пересечения) и еще пересечет две части графика (еще две точки). Итого три общие точки!
• Если $$m > 25/4$$, прямая пересечет график в двух точках.

Значит, прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, когда $$m$$ равно значению отраженной вершины.

Ответ: $$m = 25/4$$