22. Построй график функции y = x² + x - 2|x| + 1. Определи, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

Для построения графика функции \( y = x^2 + x - 2|x| + 1 \) рассмотрим два случая:

1. Если \( x \ge 0 \): \( y = x^2 + x - 2x + 1 = x^2 - x + 1 \). Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \). Значение функции в вершине: \( y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \). Точка пересечения с осью y: \( y = 1 \) при \( x = 0 \).
2. Если \( x < 0 \): \( y = x^2 + x - 2(-x) + 1 = x^2 + x + 2x + 1 = x^2 + 3x + 1 \). Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} \). Значение функции в вершине: \( y = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + 1 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 1 = \frac{9 - 18 + 4}{4} = -\frac{5}{4} \).

Теперь построим график. График функции состоит из двух частей параболы. Для \( x \ge 0 \) — это часть параболы \( y = x^2 - x + 1 \). Для \( x < 0 \) — это часть параболы \( y = x^2 + 3x + 1 \).

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину одной из ветвей параболы и пересекает другую часть графика в двух точках. Это происходит при значениях \( m \), равных значению функции в вершине для \( x < 0 \), и значению функции в точке \( x=0 \) для \( x \ge 0 \).

Значение \( m \) равно значению функции в вершине \( y = -\frac{5}{4} \) для \( x < 0 \). В этом случае прямая \( y = -\frac{5}{4} \) будет касаться одной ветви и пересекать другую в двух точках.

Также, прямая \( y=m \) будет иметь три точки пересечения, если она проходит через точку \( (0, 1) \), которая является общей для обеих частей графика (при \( x = 0 \)).

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки при \( m = -\frac{5}{4} \) и \( m = 1 \).

Запишем значения в порядке возрастания: \( -\frac{5}{4} \) и \( 1 \).

Переводя \( -\frac{5}{4} \) в десятичную дробь, получаем \( -1.25 \).

В порядке возрастания: \( -1.25 \) и \( 1 \).

Ответ: -1.251