22. Постройте график функции y = (0,75x² + 0,75) · |x| / (x + 1). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Функция задана как \( y = \frac{(0.75x^2 + 0.75) \cdot |x|}{x + 1} \).

Вынесем общий множитель в числителе:

\[ y = \frac{0.75(x^2 + 1) \cdot |x|}{x + 1} \]

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. При \( x \geq 0 \): \( |x| = x \).

\[ y = \frac{0.75(x^2 + 1) \cdot x}{x + 1} = \frac{0.75(x^3 + x)}{x + 1} \]

2. При \( x < 0 \): \( |x| = -x \).

\[ y = \frac{0.75(x^2 + 1) \cdot (-x)}{x + 1} = \frac{-0.75(x^3 + x)}{x + 1} \]

Область определения функции: \( x \neq -1 \).

Построение графика:

К сожалению, построение точного графика в текстовом формате затруднительно. График будет состоять из двух частей:

• Для \( x \geq 0 \) (кроме \( x = -1 \), но \( x \geq 0 \) исключает это), функция будет иметь вид \( y = \frac{0.75(x^3 + x)}{x + 1} \).
• Для \( x < 0 \) (кроме \( x = -1 \)), функция будет иметь вид \( y = \frac{-0.75(x^3 + x)}{x + 1} \).

Определение значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком:

Это означает, что нужно найти экстремумы (максимумы и минимумы) функции. Прямая \( y = m \) не будет пересекать график, если \( m \) находится выше всех точек графика или ниже всех точек графика, а также если есть "разрывы" в значениях функции.

Из-за сложности аналитического нахождения точных экстремумов без численного анализа или построения графика, можно предположить, что нам нужно найти значения \( m \), которые не достигаются функцией.

Наблюдая за структурой функции, мы видим, что она нечётная относительно \( x \) в пределах \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \) (с учётом \( |x| \)).

Пусть \( f(x) = \frac{0.75(x^3 + x)}{x + 1} \). Тогда \( y = f(x) \) при \( x \geq 0 \) и \( y = -f(x) \) при \( x < 0 \).

Рассмотрим поведение функции в окрестности \( x = -1 \).

• Если \( x \to -1^+ \) (x стремится к -1 справа), то \( x+1 \to 0^+ \). Числитель \( 0.75(x^3 + x) \) стремится к \( 0.75((-1)^3 + (-1)) = 0.75(-1 - 1) = -1.5 \). Следовательно, \( y \to \frac{-1.5}{0^+} \to -\infty \).
• Если \( x \to -1^- \) (x стремится к -1 слева), то \( x+1 \to 0^- \). Числитель стремится к \( -1.5 \). Следовательно, \( y \to \frac{-1.5}{0^-} \to +\infty \).

Из-за поведения функции в окрестности \( x = -1 \), функция уходит в \( +\infty \) и \( -\infty \). Это означает, что прямая \( y = m \) будет пересекать график для любого \( m \), если бы не было других ограничений.

Однако, мы должны учесть, что \( x \neq -1 \).

На графике будут присутствовать точки, куда функция стремится.

Рассмотрим предел при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \).

Для \( x \geq 0 \): \( y \approx \frac{0.75x^3}{x} = 0.75x^2 \), то есть \( y \to \infty \) при \( x \to \infty \).

Для \( x < 0 \): \( y \approx \frac{-0.75x^3}{x} = -0.75x^2 \), то есть \( y \to -\infty \) при \( x \to -\infty \).

Асимптоты и особенности графика: наличие вертикальной асимптоты \( x = -1 \) означает, что функция принимает все значения от \( -\infty \) до \( +\infty \) в окрестности этой асимптоты.

Следовательно, прямая \( y = m \) будет пересекать график для любого \( m \).

Возможно, в условии подразумевается другая функция или есть опечатка. Однако, исходя из данного выражения, график функции не имеет ограничений по \( y \) из-за асимптоты \( x = -1 \).

Если бы мы игнорировали асимптоту, и рассматривали только поведение функции на бесконечности, то можно было бы говорить о значениях \( m \), которые не достигаются.

Учитывая, что задача требует найти значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек, и при этом есть асимптота \( x = -1 \), которая заставляет функцию уходить в бесконечность, нет таких значений \( m \).

Однако, если бы в числителе была другая комбинация, например, если бы \( x^2 + 1 \) сокращалось, тогда могли бы быть "выколотые" точки или ограниченный диапазон значений.

В данном случае, при \( x \neq -1 \) и \( x \geq 0 \) или \( x < 0 \), функция принимает все действительные значения.

Если же рассматривать случай, что \( m \) не входит в диапазон значений функции, то такой \( m \) не существует, так как функция неограничена.

Предположим, что в задании есть опечатка и \( x^2 + 1 \) должно было как-то сокращаться. Но в том виде, как есть, ответ: таких значений \( m \) нет.

Возможно, стоит рассмотреть случай, когда \( m = 0 \). В этом случае, \( y = 0 \) при \( 0.75(x^2 + 1) · |x| = 0 \). Это возможно только при \( |x| = 0 \), то есть \( x = 0 \). Таким образом, \( y = 0 \) при \( x = 0 \) — одна точка пересечения.

Ответ: Таких значений \( m \) нет.