22. Постройте график функции y = 1/2 (|x/2 − 2/x| + x/2 + 2/x) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\). Используем тождество \(\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)\). При \(a=\frac{x}{2}\), \(b=\frac{2}{x}\) получаем \(y=\max\left(\frac{x}{2},\frac{2}{x}\right)\).

Сравним выражения: \(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}=\frac{x^2-4}{2x}\). Поэтому график задаётся частями:

\[y=\begin{cases}\frac{2}{x},&x\le -2,\\[2pt]\frac{x}{2},&-2\le x<0,\\[2pt]\frac{2}{x},&0<x\le2,\\[2pt]\frac{x}{2},&x\ge2.\end{cases}\]

На отрицательной части значения функции лежат в промежутке \([-1,0)\). При \(m=-1\) горизонтальная прямая касается двух ветвей в их общей точке \((-2,-1)\), то есть имеет с графиком одну общую точку. Если \(-1<m<0\), прямая пересекает отрицательные ветви в двух точках.

На положительной части значения функции не меньше 1. При \(m=1\) обе ветви встречаются в общей точке \((2,1)\), поэтому общая точка ровно одна. При \(m>1\) пересечений две.

На рисунке показаны четыре части графика; ветви гиперболы продолжаются за пределы видимой области.

Ответ: \(m=-1\) или \(m=1\).