22. Постройте график функции y = -2 - (x+4)/(x^2+4x). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Решение:

Упростим выражение для функции:

\[ y = -2 - \frac{x+4}{x(x+4)} \]

Заметим, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -4 \). При \( x \neq -4 \) можно сократить \( (x+4) \):

\[ y = -2 - \frac{1}{x} \]

Это гипербола \( y = -\frac{1}{x} \) сдвинутая на 2 единицы вниз. Асимптоты: \( x=0 \) (ось y) и \( y=-2 \) (горизонтальная асимптота).

Нужно учесть, что \( x \neq -4 \). Найдем значение \( y \) при \( x = -4 \) для функции \( y = -2 - \frac{1}{x} \):

\[ y = -2 - \frac{1}{-4} = -2 + \frac{1}{4} = -2.75 \]

Таким образом, график функции представляет собой гиперболу \( y = -2 - \frac{1}{x} \) с выколотой точкой при \( x = -4 \), \( y = -2.75 \).

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Эта прямая не будет иметь общих точек с графиком, если она совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через выколотую точку.

Горизонтальная асимптота: \( y = -2 \).

Выколотая точка: \( y = -2.75 \).

Следовательно, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m = -2 \) или \( m = -2.75 \).

Ответ: \( m = -2 \) и \( m = -2.75 \).