22. Постройте график функции y=|6x+1|−x². Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком общие точки.

Раскроем модуль по знаку выражения \(6x+1\):

\[y=\begin{cases}-x^2-6x-1=8-(x+3)^2,&x<-\frac16,\\-x^2+6x+1=10-(x-3)^2,&x\ge -\frac16.\end{cases}\]

Левая ветвь имеет максимум 8 при \(x=-3\), правая — максимум 10 при \(x=3\). При удалении от вершин значения обеих ветвей убывают без ограничения. Поэтому наибольшее значение всей функции равно 10, а её область значений — \((-,10]\).

График функции:

Горизонтальная прямая \(y=m\) пересекает график тогда и только тогда, когда её уровень не выше максимума функции.

Ответ: \(m\le 10\).