22. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le2.\end{cases}$ Определите, при каких…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для $x\le2$ график задаётся прямой $y=-0{,}5x-1$; точка $(2;-2)$ входит в график. Для $x>2$ имеем $y=-(x-4)^2$: это ветвь параболы с вершиной $(4;0)$, причём точка $(2;-4)$ не входит в график.

Посчитаем пересечения горизонтальной прямой $y=m$ с каждой частью графика.

На прямой при $x\le2$ значения $y\ge-2$, поэтому при $m\ge-2$ есть ровно одно пересечение, а при $m<-2$ пересечений нет.
На параболе $y=-(x-4)^2$, где $x>2$, при $-4<m<0$ имеются два пересечения; при $m=-4$ или $m=0$ — одно; в остальных случаях — ни одного. При $m=-4$ точка с $x=2$ исключена, но пересечение при $x=6$ остаётся.
Ровно два общих пересечения получаются при $-4<m<-2$: оба лежат на параболе. Также при $m=0$ есть одно пересечение с параболой и одно с прямой.

Ответ: $m\in(-4;-2)$ или $m=0$.

22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x&gt;2,\\-0{,}5x-1,&x\le2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ:

22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.