22. Постройте график функции \(y=\dfrac{5|x|-1}{|x|-5x^2}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком функции точку.

Область определения: \(x\ne 0\), \(|x|\ne \frac15\). При этих значениях \(5|x|-1=-(1-5|x|)\), поэтому

\[y=\frac{5|x|-1}{|x|(1-5|x|)}=-\frac1{|x|}.\]

График — две ветви \(y=-\frac1{|x|}\) при \(x<0\) и \(x>0\). Точки \((-\frac15,-5)\) и \((\frac15,-5)\) исключены, так как исходная функция в них не определена.

Для пересечения с прямой \(y=kx\) решаем \(-\frac1{|x|}=kx\). При \(x>0\) получаем \(k=-\frac1{x^2}<0\), а при \(x<0\) — \(k=\frac1{x^2}>0\). Значит, при любом \(k\ne0\) есть кандидат на одну общую точку. Она исключается из графика, если \(|x|=\frac15\), что соответствует \(|k|=25\). При \(k=0\) пересечений нет.

Ответ: ровно одну общую точку прямая имеет при \(k\in\mathbb{R}\setminus\{-25,0,25\}\).