22. Постройте график функции $y=\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+x-6}$. При каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку?

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+x-6}$. При каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+x-6}$. При каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку?

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

\[y=\frac{(x+3)(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)}.\]

Область определения исходной функции: $x\ne -3$ и $x\ne 2$, поскольку при этих значениях знаменатель равен нулю.

После сокращения получаем:

\[y=x+2,\qquad x\ne -3,\ x\ne 2.\]

Следовательно, график — прямая $y=x+2$ с выколотыми точками:

при $x=-3$: $y=-3+2=-1$, точка $(-3;-1)$;
при $x=2$: $y=2+2=4$, точка $(2;4)$.

Прямая $y=m$ пересекает прямую $y=x+2$ в точке с абсциссой $x=m-2$. Точка пересечения отсутствует только тогда, когда эта абсцисса равна одной из исключённых:

\[m-2=-3\quad\Rightarrow\quad m=-1;\]

\[m-2=2\quad\Rightarrow\quad m=4.\]

При $m=-1$ или $m=4$ общих точек нет, а при всех остальных значениях $m$ имеется ровно одна общая точка.

Ответ: $m\in\mathbb{R}\setminus\{-1;4\}$, то есть $m\ne -1$ и $m\ne 4$.

22. Постройте график функции \(y=\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+x-6}\). При каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку?

Ответ: