22. Постройте график функции y = |x^2 + 5x + 6|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Сначала построим график функции \( y = x^2 + 5x + 6 \).

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы. Координата \( x_0 \) вершины находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \).

\[ x_0 = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5 \]

Найдем значение \( y \) в вершине:

\[ y_0 = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2.5, -0.25) \).

Найдем корни уравнения \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) (точки пересечения с осью абсцисс):

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\[ x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \]

Теперь построим график функции \( y = |x^2 + 5x + 6| \). Это означает, что часть графика \( y = x^2 + 5x + 6 \), которая находится ниже оси абсцисс (где \( y < 0 \)), будет симметрично отражена относительно оси абсцисс вверх.

Наибольшее число общих точек график функции \( y = |x^2 + 5x + 6| \) может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс (уравнение \( y = k \)), зависит от значения \( k \).

• Если \( k < 0 \), то прямая \( y=k \) не пересекает график функции (0 точек).
• Если \( k = 0 \), то прямая \( y=0 \) (ось абсцисс) пересекает график в двух точках \( x = -2 \) и \( x = -3 \) (2 точки).
• Если \( 0 < k < 0.25 \), то прямая \( y=k \) пересекает график в четырех точках (4 точки).
• Если \( k = 0.25 \), то прямая \( y=0.25 \) (проходящая через вершину отражённой параболы) пересекает график в трёх точках (3 точки: две на отражённых ветвях и одна на вершине).
• Если \( k > 0.25 \), то прямая \( y=k \) пересекает график в двух точках (2 точки).

Таким образом, наибольшее число общих точек — 4.

Ответ: 4.