22. Постройте график функции y = (x^2 + 6,25)(x-1) / (1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\( y = \frac{(x^2 + 6.25)(x-1)}{1-x} \)

Заметим, что \( 1-x = -(x-1) \). Поэтому:

\( y = \frac{(x^2 + 6.25)(x-1)}{-(x-1)} \)

При \( x \neq 1 \), мы можем сократить \( (x-1) \):

\( y = -(x^2 + 6.25) = -x^2 - 6.25 \)

График этой функции — парабола ветвями вниз с вершиной в точке \( (0, -6.25) \). Однако, исходная функция не определена при \( x = 1 \). Найдем значение \( y \) при \( x = 1 \) для упрощенной функции:

\( y = -(1^2 + 6.25) = -1 - 6.25 = -7.25 \)

Таким образом, на графике будет парабола \( y = -x^2 - 6.25 \) с выколотой точкой в \( (1, -7.25) \).

Построение графика:

График — парабола с вершиной в \( (0, -6.25) \), симметричная относительно оси \( Oy \), с ветвями, направленными вниз. Точка \( (1, -7.25) \) выколота.

Определение значений k:

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \). Нам нужно найти такие значения \( k \), при которых прямая пересекает параболу \( y = -x^2 - 6.25 \) (с учетом выколотой точки) ровно в одной точке.

Приравниваем уравнения:

\( kx = -x^2 - 6.25 \)

\( x^2 + kx + 6.25 = 0 \)

Для того чтобы прямая имела ровно одну точку пересечения с параболой, это квадратное уравнение должно иметь один корень (дискриминант равен нулю) или один корень должен совпадать с выколотой точкой.

Случай 1: Дискриминант равен нулю.

\( D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6.25 = k^2 - 25 \)

\( k^2 - 25 = 0 \)

\( k^2 = 25 \)

\( k = 5 \) или \( k = -5 \)

Если \( k = 5 \), то \( x^2 + 5x + 6.25 = 0 \). \( x = \frac{-5}{2} = -2.5 \). Получаем точку пересечения \( (-2.5, -12.5) \). Эта точка не является выколотой.

Если \( k = -5 \), то \( x^2 - 5x + 6.25 = 0 \). \( x = \frac{5}{2} = 2.5 \). Получаем точку пересечения \( (2.5, -12.5) \). Эта точка не является выколотой.

Случай 2: Один из корней уравнения соответствует выколотой точке.

Выколотая точка имеет координаты \( (1, -7.25) \). Подставим \( x = 1 \) в уравнение \( x^2 + kx + 6.25 = 0 \):

\( 1^2 + k(1) + 6.25 = 0 \)

\( 1 + k + 6.25 = 0 \)

\( k + 7.25 = 0 \)

\( k = -7.25 \)

В этом случае уравнение будет \( x^2 - 7.25x + 6.25 = 0 \). Корни этого уравнения:

\( x = \frac{7.25 \pm \sqrt{(-7.25)^2 - 4 \cdot 6.25}}{2} = \frac{7.25 \pm \sqrt{52.5625 - 25}}{2} = \frac{7.25 \pm \sqrt{27.5625}}{2} \)

\( \sqrt{27.5625} = 5.25 \)

\( x_1 = \frac{7.25 + 5.25}{2} = \frac{12.5}{2} = 6.25 \)

\( x_2 = \frac{7.25 - 5.25}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Один из корней равен \( x = 1 \), что соответствует выколотой точке. Второй корень \( x = 6.25 \) дает еще одну точку пересечения.

Чтобы прямая \( y = kx \) имела ровно одну точку пересечения с графиком функции \( y = -x^2 - 6.25 \) (с учетом выколотой точки), нужно, чтобы:

1. Прямая проходила через выколотую точку \( (1, -7.25) \). В этом случае \( k = -7.25 \). При этом уравнение \( x^2 - 7.25x + 6.25 = 0 \) имеет два корня: \( x=1 \) (выколотая точка) и \( x=6.25 \) (другая точка пересечения). Это дает две точки, а не одну.

2. Прямая касалась параболы в точке, отличной от выколотой. Это случаи, когда \( k=5 \) (точка \( x=-2.5 \)) и \( k=-5 \) (точка \( x=2.5 \)). В этих случаях прямая пересекает параболу ровно в одной точке.

Проверим случай, когда прямая проходит через начало координат и выколотую точку. Если \( k = -7.25 \), прямая \( y = -7.25x \). Подставляя \( x=1 \) получаем \( y = -7.25 \). То есть прямая проходит через выколотую точку. Однако, второе решение \( x=6.25 \) также существует, давая вторую точку пересечения. Значит, \( k=-7.25 \) дает две точки пересечения.

Таким образом, прямая будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком, когда она является касательной к параболе, и эта точка касания не является выколотой.

Это происходит при \( k = 5 \) и \( k = -5 \).

Ответ: k = 5, k = -5.